高三数学理科下学期试题:第二次模拟试题
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本文题目:高三数学理科下学期试题:第二次模拟试题
数学(理科)
本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
参考公式:
锥体的体积公式 , 其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.
一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知 是虚数单位,则
A. B. C. D.
2.设集合 且 , ,那么 是 的
充分而不必要条件 必要而不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
3.已知 , , ,则 的大小关系是
4.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费
用为:不超过 按 元/ 收费,超过 的
部分按 元/ 收费.相应收费系统的流程图如右图所
示,则①处应填
5.已知一个四棱锥的高为 ,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为
6.已知点 在直线 上移动,当 取最小值时,过点 引圆 的切线,则此切线长等于
7.已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称, 则
的值为
-1 0 1 2
8.如图,三行三列的方阵中有9个数 ,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.
(一)必做题:第9、10、11、12题为必做题,每道试题考生都必须做答
9.已知 ,则当 取最大值时, =_____________.
10.已知数列 的前 项和 ,则当 时, =______.
11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机
抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数
量的分组区间为 ,
, 由此得到频率分布直方图如
图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在
的人数约占该厂工人总数的百分率是 .
12.已知 是抛物线 和直线 围成的封闭区域(包括边界)内的点,则 的最小值为 ___________.
(二)选做题:第13、14、15题为选做题,考生只能选做两题,三题全答的,只计算前两题的得分.
13.设 为正数,且 则 的最大值是___________.
14.已知过曲线 上一点P,原点为O,直线PO的倾斜角为 ,则 点坐标是___________.
15.如图, 是两圆的交点, 是小圆的直径, 和
分别是 和 的延长线与大圆的交点,
已知 ,且 ,
则 =___________.
三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在△ 中, 分别是内角 的对边,且 .
(Ⅰ) 求 ;
(Ⅱ) 求 的长.
17.(本小题满分12分)
某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为 ,若中奖,商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台,得到奖券4张.
(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ,求 的分布列;
(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 (元),用 表示 ,并求 的数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图一,平面四边形 关于直线 对称, .
把 沿 折起(如图二),使二面角 的余弦值等于 .对于图二,完成以下各小题:
(Ⅰ)求 两点间的距离;
(Ⅱ)证明: 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.(本题满分14分)
已知 是以点 为圆心的圆 上的动点,定点 .点 在 上,点 在 上,且满足 .动点 的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)线段 是曲线 的长为 的动弦, 为坐标原点,求 面积 的取值范围.
20.(本题满分14分)
已知数列 满足: ,且 ( ).
(Ⅰ)求证:数列 为等差数列;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)求下表中前 行所有数的和 .
21.(本题满分14分)
已知函数 (常数 .
(Ⅰ) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数 在区间 上零点的个数( 为自然对数的底数).
深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明:
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
一、选择题:本大题每小题5分,满分40分.
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A B D C A D
二、填空题:本大题每小题5分(第12题前空2分,后空3分),满分30分.
9. . 10. . 11. 52.5%. 12. .
13. . 14. . 15. .
三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在△ 中, 分别是内角 的对边,且 .
(Ⅰ) 求 ;
(Ⅱ) 求 的长.
解:(Ⅰ)在 中,
.
. 2分
从而 6分
9分
(Ⅱ)由正弦定理可得
,
17.(本小题满分12分)
某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为 ,若中奖,商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台,得到奖券4张.
(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ,求 的分布列;
(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 (元),用 表示 ,并求 的数学期望.
解:(Ⅰ) 的所有可能值为0,1,2,3,4.1分
,
. 4分
其分布列为:
0 1 2 3 4
6分
(Ⅱ) ,
. 8分
由题意可知
, 10分
元. 12分
18.如图一,平面四边形 关于直线 对称, .把 沿 折起(如图二),使二面角 的余弦值等于 .对于图二,完成以下各小题:
(Ⅰ)求 两点间的距离;
(Ⅱ)证明: 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(图一)(图二)
解:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 ,
由 ,得:
就是二面角 的平面角,
2分
又
平面 . 8分
(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 平面
平面
平面 平面 10分
平面 平面 ,
作 交 于 ,则 平面 ,
就是 与平面 所成的角, 12分
. 14分
方法二:设点 到平面 的距离为 ,
∵ 10分
12分
于是 与平面 所成角 的正弦为
. 14分
方法三:以 所在直线分别为 轴, 轴和 轴建立空间直角坐标系 ,则
. 10分
设平面 的法向量为n ,则
n , n ,
取 ,则n , ----------12分
于是 与平面 所成角 的正弦即
. 14分
19.(本题满分14分)
已知 是以点 为圆心的圆 上的动点,定点 .点 在 上,点 在 上,且满足 .动点 的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)线段 是曲线 的长为 的动弦, 为坐标原点,求 面积 的取值范围.
解:(Ⅰ)
为 的垂直平分线, ,
又 3分
动点 的轨迹是以点 为焦点的长轴为 的椭圆.
轨迹E的方程为 5分
(Ⅱ) 解法一∵线段 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 能构成三角形,则弦 不能与 轴垂直,故可设直线 的方程为 ,
由 ,消去 ,并整理,得
设 , ,则
, 8分 14分
解法二:∵线段 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 能构成三角形,则弦 不能与 轴垂直,故可设直线 的方程为 ,
由 ,消去 ,并整理,得
设 , ,则
, 8分
,
. 14分
(注:上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分)
20.(本题满分14分)
已知数列 满足: ,且 ( ).
(Ⅰ)求证:数列 为等差数列;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)求下表中前 行所有数的和 .
解:(Ⅰ)由条件 , ,得
2分
数列 为等差数列. 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 4分
7分
8分
(Ⅲ) ( ) 10分
第 行各数之和
( )12分
表中前 行所有数的和
. 14分
21. (本题满分14分)
已知函数 (常数 .
(Ⅰ) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数 在区间 上零点的个数( 为自然对数的底数).
解:(Ⅰ)当 时,
. 1分
.
又 ,
曲线 在点 处的切线方程为 .
即 . 3分
(Ⅱ)(1)下面先证明: .
设 ,则
,
且仅当 ,
所以, 在 上是增函数,故
.
所以, ,即 . 5分
(2)因为 ,所以
.
因为当 时, ,当 时, .
又 ,
所以 在 上是减函数,在 上是增函数.
所以, 9分
(3)下面讨论函数 的零点情况.
①当 ,即 时,函数 在 上无零点;
②)当 ,即 时, ,则
而 ,
在 上有一个零点;
③当 ,即 时, ,
由于 , ,
,
所以,函数 在 上有两个零点.13分
综上所述, 在 上,我们有结论:当 时,函数 无零点;当 时,函数 有一个零点;当 时,函数 有两个零点. 14分
解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数 的定义域为 ,
. 5分
当 时, ,当 时, .
在 上是减函数,在 上是增函数.
6分
设 ( ,常数 .
当 时,
且仅当 时,
在 上是增函数.
当 时, ,
当 时,
取 ,得 由此得 . 9分
取 得 由此得
. 10分
(1)当 ,即 时,函数 无零点; 11分
(2)当 ,即 时, ,则
而 ,
函数 有一个零点; 12分
(3)当 ,即 时, .
而 ,
函数 有两个零点. 13分
综上所述,当 时,函数 无零点,当 时,函数 有一个零点,当 时,函数 有两个零点. 14分
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