高三数学下学期文科试题:第二次模拟试题
【摘要】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家整理了此文高三数学下学期文科试题:第二次模拟试题,供大家参考!
本文题目:高三数学下学期文科试题:第二次模拟试题
高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明:
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
一、选择题:本大题每小题5分,满分50分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D A B B C C A D
二、填空题:本大题每小题5分;第14、15两小题中选做一题,如果两题都做,以第14题的得分为最后得分),满分20分.
11. . 12. . 13. . 14. . 15. .
三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系 中, , ( ),且 .
(1)求点 的坐标;
(2)若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 轴的非负半轴重合,终边分别经过点 ,求 的值.
解:(1)
.2分
解得 ,
所以 , .6分
(2)由(1)可知 ,
, .10分
.12分
【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以及向量的有关知识.考查了运算能力.
17.(本小题满分12分)
一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生
(1)要从 名学生中选 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 分的概率;
(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 .
解:(1)从 名学生中任取 名学生的所有情况为: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共种情 况.3分
其中至少有一人物理成绩高于 分的情况有: 、 、 、 、 、 、 共 种情况,
故上述抽取的 人中选 人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 分的概率 . 5分
(2)散点图如右所示. 6分
可求得:
= = ,
= = , 8分
= =40,
=0.75,
, 11分
故 关于 的线性回归方程是:
. 12分
【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和应用意识.
18.(本小题满分14分)
如图甲, 的直径 ,圆上两点 在直径 的两侧,使 , .沿直径 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙), 为 的中点, 为 的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥 的体积;
(2)求证: ;
(3)在 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,试确定点 的位置;若不存在,请说明理由.
解:(1) 为圆周上一点,且 为直径,
∵ 为 中点, ,
.
∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ,
平面 , 平面 .
就是点 到平面 的距离,
在 中, ,
. 4分
(2)在 中,
为正三角形,
又 为 的中点, ,
∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ,
平面 .
. 9分
(3)存在, 为 的中点.证明如下:
连接 ,
,
∵ 为⊙ 的直径,
,
平面 , 平面 ,
平面 .
在 中, 分别为 的中点,
,
平面 , 平面 ,
平面 平面 ,
又 平面 , 平面 .14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.
19.(本题满分14分)
设 是公比大于1的等比数列, 为数列 的前 项和.已知 ,且 是
和 的等差中项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求证: .
解:(1)由已知,得 3分
解得 .
设数列 的公比为 ,则
,
.
由 ,可知 ,
,
解得 .
由题意,得 . 5分
.
故数列 的通项为 . 7分
(2)∵ , 11分
.14分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的裂项相消法考查了学生的运算能力和思维能力.
20.(本题满分14分)
已知椭圆 的中心为原点 ,焦点在 轴上,离心率为 ,且点 在该椭圆上.
(1)求椭圆 的方程;
(2)如图,椭圆 的长轴为 ,设 是椭圆上异于 、 的任意一点, 轴, 为垂足,点 满足 ,直线 与过点 且垂直于 轴的直线交于点 , .求证: 为锐角.
20.解:(1)设椭圆C的方程为 ,由题意可得 ,
又 , . 2分
∵椭圆C经过 ,代入椭圆方程有 ,
解得 . 5分
,
故椭圆C的方程为 . 6分
(2)设 , 7分
∵ ,
∵ ,
,
直线 的方程为 . 9分
令 ,得 .
∵ , ,
.
又 、 、 不在同一条直线,
为锐角. 14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力.
21.(本小题满分14分)
已知函数 , 是自然对数的底数.
(1)试判断函数 在区间 上的单调性;
(2)当 , 时,求整数 的值,使得函数 在区间 上存在零点;
(3)若存在 ,使得 ,试求 的取值范围.
解:(1) 1分
由于 ,故当 时, ,所以 ,2分
故函数 在 上单调递增 . 3分
(2) , ,
, 4分
当 时, , ,故 是 上的增函数;
同理, 是 上的减函数. 5分
,当 , ,
故当 时,函数 的零点在 内, 满足条件;
,当 , ,
故当 时,函数 的零点在 内, 满足条件.
综上所述 或 . 7分
(3) ,
因为存在 ,使得 ,所以当 时, 8分
,
①当 时,由 ,可知 , ,
②当 时,由 ,可知 , ,
③当 时, .
在 上递减,在 上递增,11分
当 时, ,
而 ,
设 ,因为 (当 时取等号),
在 上单调递增,而 ,
当 时, ,
当 时, ,
,
,
,即 ,
设 ,则
.
函数 在 上为增函数,
.
即 的取值范围是 14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
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