高中数学方程的根与函数的零点练习题(附答案新人教A版必修1)
高一数学方程的根与函数的零点练习题(附答案新人教A版必修1)
一、选择题
1.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a,b]上()
A.至少有一实根 B.至多有一实根
C.没有实根 D.必有唯一的实根
[答案] D
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
[答案] B
3.(2013~2014山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则f(x)在(a,b)上()
A.一定有零点 B.可能有两个零点
C.一定有没有零点 D.至少有一个零点
[答案] B
[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D
若f(x)的图象与x轴无交点,满足f(a)0,f(b)0,则否定A,故选B.
4.下列函数中,在[1,2]上有零点的是()
A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6
[答案] D
[解析] A:3x2-4x+5=0的判别式0,
此方程无实数根,f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.
B:由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.
在同一坐标系中画出y=x3,x[1,2]与y=5x+5,x[1,2]的图象,如图1,两个图象没有交点.
f(x)=0在[1,2]上无零点.
C:由f(x)=0得lnx=3x-6,在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象,如图2所示,由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点,因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.
D:∵f(1)=e+31-6=e-30,f(2)=e20,
f(1)f(2)0.
f(x)在[1,2]内有零点.
5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
[答案] B
[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3,
a=5,b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.
6.(2010福建理,4)函数f(x)=x2+2x-3,x0-2+lnx,x0的零点个数为()
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0,x=-3或1;
∵x0,x=-3;令-2+lnx=0,lnx=2,
x=e20,故函数f(x)有两个零点.
二、填空题
7.已知函数f(x)=x+m的零点是2,则2m=________.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)的零点是2,f(2)=0.
2+m=0,解得m=-2.2m=2-2=14.
8.函数f(x)=2x2-x-1,x0,3x-4,x>0的零点的个数为________.
[答案] 2
[解析] 当x0时,令2x2-x-1=0,解得x=-12(x=1舍去);当x>0时,令3x-4=0,解得x=log34,所以函数f(x)=2x2-x-1,x0,3x-4,x>0有2个零点.
9.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:
①在(-2,-1)内有实数根;
②在(-1,0)内有实数根;
③在(1,2)内有实数根;
④在(-,+)内没有实数根.
其中正确的有________.(填序号)
[答案] ①②③
[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1,则f(-2)=-1<0,
f(-1)=1>0,
f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
则f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有零点,即①②③正确.
三、解答题
10.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?
[解析] 因为f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0,
f(0)=20-02=1>0,
而函数f(x)=2x-x2的图象是连续曲线,
所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.
11.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x2+4x-12x-2;
(4)f(x)=3x+1-7;
(5)f(x)=log5(2x-3).
[解析] (1)因为f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令f(x)=0,解得x=-18或x=1,所以函数的零点为-18和1.
(2)令x2+x+2=0,因为=12-412=-70,所以方程无实数根,所以f(x)=x2+x+2不存在零点.
(3)因为f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2,令x+6x-2x-2=0,解得x=-6,所以函数的零点为-6.
(4)令3x+1-7=0,解得x=log373,所以函数的零点为log373.
(5)令log5(2x-3)=0,解得x=2,所以函数的零点为2.
12.(2013~2014北京高一检测)已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有两个零点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围.
[解析] 设f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3),如图,有两种情况.第一种情况,m+2>0,f1<0,解得-2<m<-12.
第二种情况,m+2<0,f1>0,此不等式组无解.
综上,m的取值范围是-2<m<-12.
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