高中数学对数练习题(附答案)
数学必修1(苏教版)
2.3 对 数 函 数
2.3.1 对数
2010年我国国民经济生产总值为a亿元,若按平均每年增长10%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2010年的2倍?假设经过x年,则有a(1+10%)x=2a,即1.1x=2,那么如何求指数x呢?
基础巩固
1.(2013浙江卷)已知x、y为正实数,则()
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y
B.2lg(x+y)=2lg x2lg y
C.2lg xlg y=2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x2lg y
答案:D
2.(log29)(log34)=()
A.14 B.12 C.2 D.4
解析:原式=lg 9lg 2lg 4lg 3=2lg 32lg 2lg 2lg 3=4.
答案:D
3. )(3-22)=()
A.2 B.4 C.-2 D.-4
解析:∵3-22=(2-1)2=12+12=(2+1)-2.
原式=-2.
答案:C
4.设log83=p,log35=q,则lg 5为()
A.p2+q2 B.15(3p+2q)
C.3pq1+3pq D.pq
解析:由题知lg 3lg 8=p,
p=lg 33lg 2,q=lg 5lg 3,
lg 5=qlg 3=q(3plg 2)=3pqlg 105=3pq(1-lg 5),
即:lg 5=3pq-3pqlg 5,lg 5=3pq1+3pq.
答案:C
5.若y=log56log67log78log89log910,则y=()
A.1+log25 B.1+log52
C.1-log25 D.1-log52
解析:由题知y=lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9=lg 10lg 5=log510=1+log52.
答案:B
6.若a0且a1,x0,nN+,则下列各式中恒成立的有________个.
①(logax)n=nlogax ②(logax)n=logaxn
③logax=-loga1x ④logax-yx+y=-logax+yx-y
答案:2
7.已知01,01,如果 ,则x的取值范围是________.
解析:由01得logb(x-2)0,由01得0x-223.
答案:(2,3)
8.x=log23,4y=83,则x+2y的值为________.
解析:∵4y=83,22y=83,
2y=log283,x+2y=log23+log283=log28=3.
答案:3
9.若f(x)= ,且f(lg a)=10,求a的值.
解析:由f(lg a)=10得 -12=10,两边取常用对数得(lg a)2-12lg a=lg 10,即2(lg a)2-lg a-1=0.
lg a=1或lg a=-12,故a=10或1010.
能力提升
10.(lg 5)2+lg 2lg 50=()
A.1 B.2 C.5 D.10
解析:原式=(lg 5)2+lg 2(lg 2+2lg 5)=(lg 5)2+2lg 2lg 5+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=1.
答案:A
11.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,则 =()
A.14 B.12 C.1 D.2
解析:由韦达定理,lg a+lg b=2,lg alg b=12,
lg ab2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg alg b=22-412=2.
答案:D
12.设a、b、c都是正数,且3a=4b=6c,则()
A.1c=1a+1b B.2c=2a+1b
C.1c=2a+2b D.2c=1a+2b
解析:设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,
c=log6t.
1a=logt3,1b=logt4,1c=logt6.
2a+1b=logt9+logt4=2logt6=2c.
答案:B
13.若2m=3n=36,则1m+1n=________.
解析:∵2m=3n=36,m=log236,n=log336,
从而:1m+1n=log362+log363=log366=12.
答案:12
14.(2013上海卷)方程33x-1+13=3x-1的实数解为________.
解析:去分母整理得32x-23x-8=03x=4
x=log34.
答案:log34
15.已知log5[log4(log3x)]=0,则x=________.
答案:81
16.计算:1-log632+log62log618log64.
解析:
原式=1-2log63+log632+log663log663log64
=1-2log63+log632+1-log631+log63log64
=1-2log63+log632+1-log632log64
=21-log632log62=log66-log63log62=log62log62=1.
17.甲、乙两人解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到根14、18;乙写错了常数c,得到根12、64.求原方程的根.
解析:原方程可变形为log22x+blog2x+c=0.
由于甲写错了常数b,得到的根为14和18,
c=log214log218=6.
由于乙写错了常数c,得到的根为12和64,
b=-log212+log264=-5.
故原方程为log22x-5log2x+6=0.
因式分解得(log2x-2)(log2x-3)=0.
log2x=2或log2x=3,即x=4或x=8.
点评:此题取材与学生生活密切相关,将对数与一元二次方程结合.本题在解答时,利用了一元二次方程根与系数的关系,即x1+x2=-ba,x1x2=ca.已知二次项系数为1方程的根为x1、x2时,方程可写成(x-x1)(x-x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
18.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),求lg xy的值.
解析:由lg x+lg y=2lg (x-2y)得xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,化为 -5xy+4=0,解得xy=4或xy=1,又∵x0,y0,x-2y0,xy2,故xy=4, xy= 4= (2)4=4.
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