数学高考复习平面向量的概念及线性运算专题测试(附答案)
长度等于0的向量叫做零向量,下面的是数学高考复习平面向量的概念及线性运算专题测试,请考生及时练习。
一、填空题
1.若O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么=________.
[解析] 因为D为BC边的中点,+=2,
又2++=0,
2+2=0,即=.
因此=2,故=.
[答案]
2.(2014镇江质检)若a+c与b都是非零向量,则a+b+c=0是b(a+c)的________条件.
[解析] 若a+b+c=0,则b=-(a+c),
b∥(a+c);
若b(a+c),则b=(a+c),当-1时,a+b+c0.
因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要条件.
[答案] 充分不必要
3.如果=e1+e2,=2e1-3e2,=3e1-ke2,且A,C,F三点共线,则k=________.
[解析] =e1+e2,=2e1-3e2,
=+=3e1-2e2.
A,C,F三点共线,
∥,从而存在实数,使得=.
3e1-2e2=3e1-ke2,
又e1,e2是不共线的非零向量,
因此k=2.
[答案] 2
4.(2014南京调研)在ABC中,点D是BC边上的点,=+(,R),则的最大值为________.
[解析] D在边BC上,且=+,0,0,且+=1,2=,当且仅当==时,取=号.
[答案]
5.(2014泰州市期末考试)在ABC中,=2,若=1+2,则12的值为________.
[解析] =+=+,而=-,所以=+,所以1=,2=,则12=.
[答案]
6.(2014南京市调研)如图43所示,在ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点,F为边AB上的点,且=3,若=x+y,x,yR,则x+y的值为________.
图43
[解析] D为BC的中点,=(+)=(3+2)=+,故x=,y=1,x+y=.
[答案]
7.(2014宿迁质检)若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则ABM与ABC的面积比为________.
[解析] 设AB的中点为D,如图所示,由5=+3得
3-3=2-2,即3=2.
故C,M,D三点共线,且=.
所以===.
[答案]
8.(2014扬州质检)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||=4,|+|=|-|,则||=________.
[解析] 延长AM至点D,连结BD、CD,则ABDC为平行四边形,+=,-=,|+|=|-|,||=||=4,
||=||=2.
[答案] 2
二、解答题
9.设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[解] (1)=a+b,=2a+8b,=3(a-b).
=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.
,共线,
又它们有公共点B,
A,B,D三点共线.
(2)假设ka+b与a+kb共线,
则存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.
又a,b是两不共线的非零向量,
k-=k-1=0.
k2-1=0,k=1.
10.在ABC中,=,DEBC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设=a,=b,用a、b表示向量、、、、、.
图44
[解] ==b.
=-=b-a.
由ADE∽△ABC,得==(b-a).
又AM是ABC的中线,DEBC,
得==(b-a).
又=(+)=(a+b).
==(a+b).
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