2012年高三数学下学期期中试题:理科科目
【摘要】对于高中学生的我们,数学在生活中,考试科目里更是尤为重要,高三数学试题栏目为您提供大量试题,小编在此为您发布了文章:2012年高三数学下学期期中试题:理科科目希望此文能给您带来帮助。
本文题目:2012年高三数学下学期期中试题:理科科目
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.若复数 ( 为虚数单位),则 的虚部是( ▲ )
A. B. C. D.
2.已知 则 等于( ▲ )
A. B. C. D.
3.阅读右面的程序框图,则输出的 ( ▲ )
A. B. C. D.
4.若 ,则 是的 ( ▲ )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.设 是平面上互异的四个点,若
( 则△ABC的形状是( ▲ )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.已知符号函数 ,则函数 的零点个数为( ▲ )
A. B. C. D.
7.,椭圆的中心在坐标原点 ,顶点分别是 ,焦点为 ,延长 与 交于 点,若 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 ( ▲ )
A. B. C. D.
8. 含有数字 ,且有两个数字 ,则含有数字 ,
且有两个相同数字的四位数的个数为( ▲ )
A. B. C. D.
9. 已知变量 满足约束条件 ,若目标函数 仅在点 处取到最大值,则实数 的取值范围为( ▲ )
A. B. C. D.
10. 已知集合 ,若集合 ,且对任意的 ,存在 ,使得 (其中 ),则称集合 为集合 的一个 元基底.给出下列命题:
①若集合 , ,则 是 的一个二元基底;
②若集合 , ,则 是 的一个二元基底;
③若集合 是集合 的一个 元基底,则 ;
④若集合 为集合 的一个 元基底,则 的最小可能值为 .
其中是真命题的为( ▲ )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工 ▲ .
12.已知一个空间几何体的三视图所示,根据图中标出的尺寸
(单位:cm),可得这个几何体的体积为____ ▲ _cm3.
13.已知双曲线 的一个焦点在圆
上,则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
14.一个人随机的将编号为 的四个小球放入编号为 的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了,记放对的个数为随机变量 ,则 的期望
E = ▲ .
15.已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项,则 ▲ .
16.所示的几何体中,四边形 是矩形,平面 平面 ,已知 , ,且当规定主(正)视方向垂直平面 时,该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 、 分别是线段 、 上的动点,则 的最小值为 ▲ .
17.已知 是正整数,若关于 的方程 有整数解,则 所有可能的取值集合是 ▲ .
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)己知在锐角 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求角 大小;
(Ⅱ)当 时,求 的取值范围.
19.(本小题满分14分)设数列 的前 项和为 ,已知 为常数, ), .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ,使 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分15分),在三棱锥 中, 为 的中点,平面 平面 ,
, .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III)若动点M在底面三角形ABC上,二面角
的余弦值为 ,求BM的最小值.
21.(本小题满分15分)设椭圆 : 的一个顶点与抛物线 : 的焦点重合, 分别是椭圆的左右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由;
(III)若 是椭圆 经过原点 的弦,且 ,求证: 为定值.
22.(本小题满分14分)已知函数 ,设曲线 在与 轴交点处的切线为 , 为 的导函数,满足 .
(1)求 ;
(2)设 , ,求函数 在 上的最大值;
(3)设 ,若对一切 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
路桥中学高三(下)第2次月考试卷
数 学(理科)参考答案
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.若复数 ( 为虚数单位),则 的虚部是( B )
A. B. C. D.
2.已知 则 等于( D )
A. B. C. D.
3.阅读右面的程序框图,则输出的 ( A )
A. B. C. D.
4.若 ,则 是的 ( A )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.设 是平面上互异的四个点,若
( 则△ABC的形状是( B )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.已知符号函数 ,则函数 的零点个数为( C )
A. B. C. D.
7.,椭圆的中心在坐标原点 ,顶点分别是 ,焦点为 ,延长 与 交于 点,若 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 ( C )
A. B. C. D.
8. 含有数字 ,且有两个数字 ,则含有数字 ,
且有两个相同数字的四位数的个数为( B )
A. B. C. D.
9. 已知变量 满足约束条件 ,若目标函数 仅在点 处取到最大值,则实数 的取值范围为( A )
A. B. C. D.
10. 已知集合 ,若集合 ,且对任意的 ,存在 ,使得 (其中 ),则称集合 为集合 的一个 元基底.给出下列命题:
①若集合 , ,则 是 的一个二元基底;
②若集合 , ,则 是 的一个二元基底;
③若集合 是集合 的一个 元基底,则 ;
④若集合 为集合 的一个 元基底,则 的最小可能值为 .
其中是真命题的为( D )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工 ▲ .10
12.已知一个空间几何体的三视图所示,根据图中标出的尺寸
(单位:cm),可得这个几何体的体积为____ ▲ _cm3.
13.已知双曲线 的一个焦点在圆
上,则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
14.一个人随机的将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数记为 ,则 的期望
E = ▲ .
15.已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项,则 ▲ .
16.所示的几何体中,四边形 是矩形,平面 平面 ,已知 , ,且当规定主(正)视方向垂直平面 时,该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 、 分别是线段 、 上的动点,则 的最小值为 ▲ .
17.已知 是正整数,若关于 的方程 有整数解,则 所有可能的取值集合是 ▲ .
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)己知在锐角 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求角 大小;
(Ⅱ)当 时,求 的取值范围.
解:(Ⅰ)由已知及余弦定理,得 因为 为锐角,所以 6分
(Ⅱ)由正弦定理,得 ,
11分
由 得
14分
19.(本小题满分14分)设数列 的前 项和为 ,已知 为常数, ), .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ,使 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)由题意,知 即 解之得 2分
,① 当 时, ,②
① ②得, , 4分
又 ,所以 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 .7分
(Ⅱ)由⑵得, ,由 ,得
,即 ,10分
即 ,因为 ,所以 ,
所以 ,且 ,
因为 ,所以 或 或 . 12分
当 时,由 得, ,所以 ;
当 时,由 得, ,所以 或 ;
当 时,由 得, ,所以 或 或 ,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 为:
.14分
20.(本小题满分15分),在三棱锥 中, 为 的中点,平面 平面 ,
, .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III)若动点M在底面三角形ABC上,二面角
的余弦值为 ,求BM的最小值.
解:(Ⅰ)因为 为 的中点, AB=BC,所以 ,
∵平面 平面 ,平面 平面 ,
平面PAC, 5分
(Ⅱ)以 为坐标原点, 分别为 轴
建立所示空间直角坐标系,因为AB=BC=PA= ,
所以OB=OC=OP=1,从而O(0,0,0),B(1,0,0),
A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
设平面PBC的法向量 ,由 得方程组
,取 ,
直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ;10分
(III)由题意平面PAC的法向量 ,
设平面PAM的法向量为
∵ 又因为
取 ,
, 或 (舍去)
B点到AM的最小值为垂直距离 .15分
21.(本小题满分15分)设椭圆 : 的一个顶点与抛物线 : 的焦点重合, 分别是椭圆的左右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由;
(III)若 是椭圆 经过原点 的弦,且 ,求证: 为定值.
解:(I)椭圆的顶点为 ,即 , ,解得 ,
椭圆的标准方程为 5分
(II)由题可知,直线 与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②设存在直线 为 ,且 , .
由 得 , , ,
=
所以 ,故直线 的方程为 或 10分
(III)设 ,
由(II)可得: |MN|=
= .
由 消去y,并整理得: ,
|AB|= , 为定值 15分
22.(本小题满分14分)已知函数 ,设曲线 在与 轴交点处的切线为 , 为 的导函数,满足 .
(1)求 ;
(2)设 , ,求函数 在 上的最大值;
(3)设 ,若对一切 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
解:(1) , ,
函数 的图像关于直线 对称,则 .2分
直线 与 轴的交点为 , ,且 ,
即 ,且 ,解得 , .
则 . 5分
(2) , 7分
其图像所示.当 时, ,根据图像得:
(ⅰ)当 时, 最大值为 ;
(ⅱ)当 时, 最大值为 ;
(ⅲ)当 时, 最大值为 . 10分
(3)方法一: , , ,
当 时, ,
不等式 恒成立等价于 且 恒成立,
由 恒成立,得 恒成立,
当 时, , , ,12分
又 当 时,由 恒成立,得 ,因此,实数 的取值范围是 .14分
方法二:(数形结合法)作出函数 的图像,其图像为线段 (),
的图像过点 时, 或 ,
要使不等式 对 恒成立,
必须 , 12分
又 当函数 有意义时, ,
当 时,由 恒成立,得 ,
因此,实数 的取值范围是 . 14分
方法三: , 的定义域是 ,
要使 恒有意义,必须 恒成立,
, ,即 或 . ① 12分
由 得 ,
即 对 恒成立,
令 , 的对称轴为 ,
则有 或 或
解得 . ②
综合①、②,实数 的取值范围是 . 14分
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