一、选择题（共12题，每小题5分）

1．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）

A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}

2．复数（3+2i）i等于（）

A．﹣2﹣3iB．﹣2+3iC．2﹣3iD．2+3i

3．以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A．2πB．πC．2D．1

4．设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）

A．?x0∈R，x02+1＞0B．?x0∈R，x02+1≤0

C．?x0∈R，x02+1＜0D．?x0∈R，x02+1≤0

5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥α，n?α，则m⊥n

6．将函数y=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）

A．y=f（x）是奇函数

B．y=f（x）的周期为π

C．y=f（x）的图象关于直线x= 对称

D．y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）对称

7．已知函数f（x）= ﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）

8．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）

A．21B．42C．63D．84

9．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）

A．80元B．120元C．160元D．240元

10．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 等于（）

A． B．2 C．3 D．4

11．设D为△ABC所在平面内一点， ，则（）

A． B．

C． D．

12．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω= ，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）

A．49B．37C．29D．5

二．填空题（共4题，每题5分）

13．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC= ，则AB等于．

14．函数f（x）= 的零点个数是．

15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

16．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当 取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为．

三．解答题（共6题，17题10分，其它各题12分）

17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA= ，B=A+ ．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．已知函数f（x）=cosx?sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．

19．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

21．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）= ．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

22．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．

一、选择题（共12题，每小题5分）

1．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）

A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}

【考点】交集及其运算．

【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案

【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，

∴P∩Q={x|3≤x＜4}．

故选A．

2．复数（3+2i）i等于（）

A．﹣2﹣3iB．﹣2+3iC．2﹣3iD．2+3i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．

【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．

故选：B．

3．以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A．2πB．πC．2D．1

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．

【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，

则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，

故选：A．

4．设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）

A．?x0∈R，x02+1＞0B．?x0∈R，x02+1≤0

C．?x0∈R，x02+1＜0D．?x0∈R，x02+1≤0

【考点】命题的否定．

【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项

【解答】解∵命题p：?x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．

∴￢p：?x0∈R，x02+1≤0．

故选B．

5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥α，n?α，则m⊥n

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对．

【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中：令底面A′B′C′D′=α

A、令m=AB，n=BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A错误；

B、令m=AA′，n=A′B′，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B错误；

C、令m=AB，n=AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C错误；

故选：D．

6．将函数y=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）

A．y=f（x）是奇函数

B．y=f（x）的周期为π

C．y=f（x）的图象关于直线x= 对称

D．y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）对称

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由

cos =cos（﹣ ）=0即可得到正确选项．

【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移 个单位，得y=sin（x+ ）=cosx．

即f（x）=cosx．

∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；

∵cos =cos（﹣ ）=0，

∴y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）、（ ，0）成中心对称．

故选：D．

7．已知函数f（x）= ﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣ ＜0，由零点的判定定理可得．

【解答】解：∵f（x）= ﹣log2x，

∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣ ＜0，

满足f（2）f（4）＜0，

∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，

故选：C

8．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）

A．21B．42C．63D．84

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．

【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，

∴ ，

∴q4+q2+1=7，

∴q4+q2﹣6=0，

∴q2=2，

∴a3+a5+a7= =3×（2+4+8）=42．

故选：B

9．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）

A．80元B．120元C．160元D．240元

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．

【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则

∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，

∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，

∵a+b≥2 =4，

∴当a=b=2时，y取最小值160，

即该容器的最低总造价是160元，

故选：C．

10．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 等于（）

A． B．2 C．3 D．4

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入 计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．

【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则 = ，

∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴ =2 =4

故选：D．

11．设D为△ABC所在平面内一点， ，则（）

A． B．

C． D．

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】将向量 利用向量的三角形法则首先表示为 ，然后结合已知表示为 的形式．

【解答】解：由已知得到如图

由 = = = ；

故选：A．

12．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω= ，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）

A．49B．37C．29D．5

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

圆心为（a，b），半径为1

∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，

∴b=1，

则a2+b2=a2+1，

∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，

由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，

由 ，解得 ，即B（6，1），

∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，

故选：C

二．填空题（共4题，每题5分）

13．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC= ，则AB等于　1　．

【考点】余弦定理．

【分析】利用余弦定理计算即可．

【解答】解：由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AB?ACcosA，

即3=4+AB2﹣2AB，解得AB=1，

故答案为：1．

14．函数f（x）= 的零点个数是　2　．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．

【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x= 或x= （舍去），

当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，

作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．

故函数f（x）的零点个数为2，

故答案为：2

15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积．

【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱

和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，

∴该几何体的体积为：

V= × = ．

故答案为： ．

16．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当 取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为　2　．

【考点】基本不等式．

【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入 ，利用基本不等式化简即可得到当 取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．

【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，

∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，

∴ = + ﹣3≥2 ﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），

即x=2y（y＞0），

∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）

=4y﹣2y2

=﹣2（y﹣1）2+2≤2．

∴x+2y﹣z的最大值为2．

故答案为：2．

三．解答题（共6题，17题10分，其它各题12分）

17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA= ，B=A+ ．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【考点】正弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．

（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

【解答】解：（Ⅰ）∵cosA= ，

∴sinA= = ，

∵B=A+ ．

∴sinB=sin（A+ ）=cosA= ，

由正弦定理知 = ，

∴b= ?sinB= × =3 ．

（Ⅱ）∵sinB= ，B=A+ ＞

∴cosB=﹣ =﹣ ，

sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ×（﹣ ）+ × = ，

∴S= a?b?sinC= ×3×3 × = ．

18．已知函数f（x）=cosx?sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 求出此函数的最小正周期；

（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（ sinx cosx）

=

=

=

=

所以，f（x）的最小正周期 =π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）= ，

由x∈[﹣ ， ]得，2x∈[﹣ ， ]，则 ∈[ ， ]，

∴当 =﹣ 时，即 =﹣1时，函数f（x）取到最小值是： ，

当 = 时，即 = 时，f（x）取到最大值是： ，

所以，所求的最大值为 ，最小值为 ．

19．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．

【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；

（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．

【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，

由a2=3，a5=81，得

，解得 ．

∴ ；

（Ⅱ）∵ ，bn=log3an，

∴ ．

则数列{bn}的首项为b1=0，

由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），

可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．

∴ ．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；

（Ⅲ）利用VE﹣ABC= ，可求三棱锥E﹣ABC的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，

∴BB1⊥AB，

∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，

∴AB⊥平面B1BCC1，

∵AB?平面ABE，

∴平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，

∵F是BC的中点，

∴FG∥AC，FG= AC，

∵E是A1C1的中点，

∴FG∥EC1，FG=EC1，

∴四边形FGEC1为平行四边形，

∴C1F∥EG，

∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，

∴C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AB= ，

∴VE﹣ABC= = = ．

21．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）= ．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；

（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；

（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+ ，

曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，

由切线与直线2x﹣y=0平行，

则a+1=2，解得a=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+ ，

令h（x）=lnx+1+ ，h′（x）= ﹣ = ，

当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．

当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，

g（x）= 的导数为g′（x）= ，

当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，

当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．

则x=2取得最大值，

令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣ ，

T（1）=﹣ ＜0，T（2）=3ln2﹣ ＞0，

T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+ ﹣ ，

由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣ ，即有lnx+1+ ＞2；

ex＞1+x，可得﹣ ＞ ，

可得lnx+1+ ﹣ ＞2+ = ＞0，

即为T′（x）＞0在（1，2）成立，

则T（x）在（1，2）递增，

由零点存在定理可得，存在自然数k=1，

使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）= ，其中x0∈（1，2），

且x=2时，g（x）取得最（高中学习网WwW.gaOzhONg.cC)大值，且为g（2）= ，

则有m（x）的最大值为m（2）= ．

22．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．

【考点】带绝对值的函数；其他不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）不等式等价于① ，或② ，或③ ．

分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，

∴① ，或② ，或③ ．

解①得﹣1≤x＜﹣ ，解②得﹣ ≤x≤ ，解③得 ＜x≤2．

故由不等式可得 ，

即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．

（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，

∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．

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