高三数学下学期试题:椭圆及强化训练题
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本文题目:高三数学下学期试题:椭圆及强化训练题
椭圆但因为测试 新人教B版
1.(文)(2011东莞模拟)设P是椭圆x225+y216=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()
A.4 B.5
C.8 D.10
[答案] D
[解析] ∵a2=25,a=5,|PF1|+|PF2|=2a=10.
(理)(2011浙江五校联考)椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为()
A.32 B.1 6
C.8 D.4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16.
2.(文)(2011岳阳月考)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()
A.-21 B.21
C.-1925或21 D.1925或21
[答案] C
[解析] 若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,由ca=45即5-k3=45,得k=-1925;若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,
由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.
(理)(2011广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2,焦点为F1、F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于()
A.22 B.12
C.32 D.以上都不是
[答案] A
[解析] 画出草图(图略),根据题意可得e=ca=cos45=22,故选A.
3.n 是方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程mx2+ny2=1,即x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆,需有:1m01m1n,
m0,故互为充要条件.
4.(文)(2011抚顺六校检测)椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点M在椭圆上,MF1MF2=0,则M到y轴的距离为()
A.233 B.263
C.33 D.3
[答案] B
[分析] 条件MF1MF2=0,说明点M在以线段F1F 2为直径的圆上,点M又在椭圆上,通过方程组可求得点M的坐标,即可求出点M到y轴的距离.
[解析] 椭圆的焦点坐标是(3,0),点M在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆得x24+3-x2=1,解得x2=83,即|x|=263,此即点M到y轴的距离.
[点评] 满足MFMB=0(其中A,B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆.
(理)(2011河北石家庄一模)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是()
A.165 B.3
C.163 D.253
[答案] A
[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵34,
F1F2P=90或F2F1P=90.
设P(x,3),代入椭圆方程得x=165.
即点P到y轴的距离是165.
5.(文)(2011山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为()
A.x2144+y2128=1 B.x236+y220=1
C.x232+y236=1 D.x236+y232=1
[答案] D
[解析] 2a=12,a=6,∵e=ca=13,
c=2,b2=a2-c2=32,故选D.
(理)(2011长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()
A.x24+y23=1 B.x216+y212=1
C.x24+y2=1 D.x216+y24=1
[答案] A
[解析] 由x2+y2-2x-15=0得,(x-1)2+y2=16,
r=4,2a=4,a=2,
∵e=ca=12,c=1,b2=a2-c2=3.故选A.
6.(文)(2011银川二模)两个正数a、b的等差中项是52 ,等比中项是6,且ab,则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e等于()
A.32 B.133
C.53 D.13
[答案] C
[解析] 由题意可知a+b=5ab=6,又因为ab,
所以解得a=3b=2,所以椭圆的半焦距为c=5,
所以椭圆的离心率e=ca=53,故选C.
(理)(2011杭州二检、江西七校联考)如下图所示,嫦娥一号探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2④c1a1
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
[答案] B
[解析] 给出图形的题目,要充分利用图形提供的信息解题.
∵P点既在椭圆Ⅰ上,又在椭圆Ⅱ上,且F是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点,|PF|=a-c,
即a1-c1=a2-c2,故②正确;
由a1-c1=a2-c2得a1-a2=c1-c2,c1=a1-a2+c2,
c1a2-a1c2=(a1-a2+c2)a2-a1c2=(a1-a2)a2+(a2-a1)c2=(a1-a2)(a2-c2),
又∵从图中可以看出,a1a2,a2c2,c1a2-a1c20,即c1a2a1c2,故③正确,故选B.
7.(文)(2011南京模拟)已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a0)上的一点,若PF1PF2=0,tanPF1F2=12,则此椭圆的离心率为________.
[答案] 53
[解析] ∵PF1PF2=0,PF1PF2,
在Rt△PF1F2中,tanPF1F2=|PF2||PF1|=12,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,x=2a3,
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,x2+4x2=4c2,
209a2=4c2,e=ca=53.
(理)已知1m+2n=1(m0,n0),则当mn取得最小值时,椭圆x2m2+y2n2=1的离心率是________.
[答案] 32
[解析] ∵m0,n0
1=1m+2n22mn,
mn8,当且仅当1m=2n,即n=2m时等号成立,
由n=2mmn=8,解得m=2,n=4.
即当m=2,n=4时,mn取得最小值8,
离心率e=n2-m2n =32.
8.(文)已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2,则方程x23+y2k=1表示椭圆的概率为________.
[答案] 12
[解析] 由条件22,-k,
当0
概率P=12.
(理)(2010深圳市调研)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a0,b0)的面积为ab,M包含于平面区域:|x|3内,向内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为4,则椭圆M的方程为________.
[答案] x24+y23=1
[解析] 平面区域:|x|3是一个矩形区域,如下图所示,
依题意及几何概型,可得ab83=4,
即ab=23.
因为0
所以a=2,b=3.
所以,椭圆M的方程为x24+y23=1.
9.(2011湖南长沙一中月考)直线l:x-y=0与椭圆x22+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为_ _______.
[答案] 2
[解析] 设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入x22+y2=0中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由=16a2-24(a2-1)=0得,a=3,两平行直线x-y=0与x-y+3=0的距离d=62,将y=x代入x22+y2=1中得,x1=-63,x2=63,
|AB|=1+1|63-(-63) |=433,
S△ABC=12|AB|d=1243362=2.
10.(文)(2010新课标全国文)设F1、F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求b的值.
[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43.
(2)l的方程为y=x+c,其中c=1-b2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组
y=x+c,x2+y2b2=1.
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
则x1+x2=-2c1+b2,x1x2=1-2b21+b2.
因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=2|x2-x1|,
即43=2|x2-x1|.
则89=(x1+x2)2-4x1x2
=41-b21+b22-41-2b21+b2=8b41+b22.
解得b=22.
(理)(2011北京文,19)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△PAB的面积.
[解析] (1)由已知得,c=22,ca=63,
解得a=23,
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为x212+y24=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m
由y=x+m.x212+y24=1得
4x2+6mx+3m2-12=0. ①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1
x0=x1+x22=-3m4,
y0=x0+m=m4.
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PEAB,
所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1.
解得m=2,
此时方程①为4x2+12x=0,
解得x1=-3,x2=0,
所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=32,
此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322,
所以△PAB的面积S=12|AB|d=92.
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