高中数学复习综合测试题
一、本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则下列关系中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2.复数 的虚部为 ( )
A. B. C.? D.?
3.曲线 所围成的封闭图形的面积为 ( )
A. B. C. D.
4.根据下列三视图(如下图所示),则它的体积是 ( )
A. B. C. D.
5.函数 的图象如图所示,为了得到 的图像,可以将 的图像 ( )
A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
6.已知等差数列{an}的公差d不为0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d,b1=d2,且 是正整数,则q等于 ( )
A. B.
C. D.
7.右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是( )
A. B.
C. D.
8. 展开式最高次项的系数等于 ( )
A.1 B.
C. D.2010
9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足 =4:3:2,则曲线C的离心率等于 ()
A. B. 或2 C. 2 D.
10.随机事件A和B,“ 成立”是“事件A和事件B对立”的( )条件 ( )
A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.即不充分也不必要
11.函数 的图象大致是 ( )
12.已知x,y满足不等式组 的最小值为 ( )
A. B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
13.已知函数 ,若f(x) 恒成立,则a的取值范围是 ;
14.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离为 ;
15.在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6, ,若 ,则 与 的夹角的余弦值等于 ;
16.下列说法:
①“ ”的否定是“ ”;
②函数 的最小正周期是
③命题“函数 处有极值,则 ”的否命题是真命题,高中生物;
④ 上的奇函数, 时的解析式是 ,则 时的解析式为 其中正确的说法是 。
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知向量 , ,且
(1)求 的取值范围;
(2)求函数 的最小值,并求此时x的值
18.(本小题满分12分)
已知等差数列 满足: , , 的前n项和为 .
(Ⅰ)求 及 ;
(Ⅱ)令bn= ( ),求数列 的前n项和 。
19.(本小题满分12分)
一个四棱锥的三视图如图所示,E为侧棱PC上一动点。
(1)画出该四棱锥的直观图,并指出几何体的主要特征(高、底等).
(2)点 在何处时, 面EBD,并求出此时二面角 平面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
2011年深圳大运会,某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有K和D两个动作,比赛时每位运动员自选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的,根据赛前训练统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表:
甲系列:
动作 K D
得分 100 80 40 10
概率
乙系列:
动作 K D
得分 90 50 20 0
概率
现该运动员最后一个出场,其之前运动员的最高得分为118分。
(I)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列,说明理由,并求其获得第一名的概率;
(II)若该运动员选择乙系列,求其成绩X的分布列及其数学期望EX。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆 、抛物线 的焦点均在 轴上, 的中心和 的顶点均为原点 ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 2 4
0 4
(Ⅰ)求 的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线 满足条件:①过 的焦点 ;②与 交不同两点 且满足 ?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由。
22.(本小题满分14分) 已知函数 ,且函数 是 上的增函数。
(1)求 的取值范围;
(2)若对任意的 ,都有 (e是自然对数的底),求满足条件的最大整数 的值。
参考答案
一.选择题
1.B;2.B;3.B;4.D;5.B;6.C;7.C;8.B;9.A;10.C; 11.D;12.D;
二.填空题
13.(-∞,3);14. ;15. ;16.①④;
三.解答题
17.解析:(1)∵ ∴
∴ 0≤ ≤24分
(2)∵ ∴ ;…………6分
∵
………………10分
∴ 当 ,即 或 时, 取最小值- 。
……………………12分
18.解析:(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,因为 , ,所以有
,解得 ,
所以 ; = = 。………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,所以bn= = = ,
所以 = = ,
即数列 的前n项和 = 。……………12分
19.解析:(1)直观图如下:
………………3分
该四棱锥底面为菱形,边长为2,其中角A为60度,顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心,四棱锥高为1。………………4分
(2)如图所示建立空间直角坐标系:
显然A 、B 、P .
令 ,得: 、 .
显然 ,
当 .
所以当 时, 面BDE。………………8分
分别令 和 为平面PBC和平面ABE的法向量,
由 ,得
由 ,得
可得: ,
显然二面角 平面角为钝角,得其余弦值为 。…………12分
20.解析:(I)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择甲系列.……1分
理由如下:选择甲系列最高得分为100+40=140>118,可能获得第一名;而选择乙系列最高得分为90+20=110<118,不可能获得第一名. ……2分
记“该运动员完成K动作得100分”为事件A,“该运动员完成D动作得40分”为事件B,则P (A)= ,P (B)= . …………4分
记“该运动员获得第一名”为事件C,依题意得
P (C)=P (AB)+ = = .
该运动员获得第一名的概率为 .…………6分
(II)若该运动员选择乙系列,X的可能取值是50,70,90,110, …………7分
则P (X=50)= = ,
P (X=70)= = ,P (X=90)= = ,
P (X=110)= = . …………9分
X的分布列为:
X 50 70 90 110
P
∴ =50× +70× +90× +110× =104. ……12分
21.解析:(Ⅰ)设抛物线 ,则有 ,据此验证 个点知(3, )、(4, 4)在抛物线上,易求 ………………2分
设 : ,把点( 2,0)( , )代入得:
解得
∴ 方程为 ………………………………………………………………5分
(Ⅱ)法一:
假设存在这样的直线 过抛物线焦点 ,设直线 的方程为 两交点坐标为 ,
由 消去 ,得 …………………………7分
∴ ①
② ………………………9分
由 ,即 ,得
将①②代入(*)式,得 , 解得 …………………11分
所以假设成立,即存在直线 满足条件,且 的方程为: 或 …………………………………………………………………………………12分
法二:容易验证直线 的斜率不存在时,不满足题意;……………………………6分
当直线 斜率存在时,假设存在直线 过抛物线焦点 ,设其方程为 ,与 的交点坐标为
由 消掉 ,得 , …………8分
于是 , ①
即 ② ………………………………10分
由 ,即 ,得
将①、②代入(*)式,得 ,解得 ;……11分
所以存在直线 满足条件,且 的方程为: 或 .………12分
22.解析:(1)设 ,所以 ,得到 .所以 的取值范围为 ………2分
(2)令 ,因为 是 上的增函数,且 ,所以 是 上的增函数。…………………………4分
由条件得到 (两边取自然对数),猜测最大整数 ,现在证明 对任意 恒成立。…………6分
等价于 ,………………8分
设 ,
当 时, ,当 时, ,
所以对任意的 都有 ,即 对任意 恒成立,
所以整数 的最大值为2.……………………………………………………14分
一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过,那么一个喝了少量酒后的驾驶员,至少要经过_________小时才能开车.
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