什么是多完全数？_趣味数学

什么是多完全数？

有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起来，正好等于这个自然数自己。例如，6的除数有

1、

2、3（6不包括在内），且有

6=1+2+3。

又如，28的所有的除数为

1、

2、

4、

7、14（28不包括在内），且有

28=1+2+4+7+14。

象这样的数，我们就称之为“完全数”（“完数”）。“完数”这个名称具有神秘的色彩，意思是“完美的数”。如古代意大利人就把6看做属于爱神维纳斯的数，它象征着美满的婚姻。

完数在自然数中很少。据统计，在一到四千万这么多的自然数里，只有七个完数，它们是6，28，496，8128，120816，2096128，33550336。

如果一个正整数全部因子（包括它本身）之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。如120全部因子为

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

这些因子之和为360，360正好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。

早在古希腊时期，数学家欧几里得曾得出一个表达部分完全数的公式：

N=2n-1（2n-1）。

多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大的多完全数。

过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有“指标”8。最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德·海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完全数的个数扩大到了1288个。其中包括14个天文数字的大数，它们的“指标”为9，而最大的数有588位。

据理论研究，对于每一个“指标”，只有有限多个多完全数。

“指标”为3的多完全数只有6个；

“指标”为4的多完全数只有36个；

“指标”为5的多完全数只有65个。

然而“指标”为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑尼乌斯发现的。

人们在探索中发现，随着多完全数数字的变大，它的分布密度越来越稀疏。它们是否会在正整数中消失呢？这是一个悬而未决的问题。

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