妙想奇思——简单而复杂的立方体
a.欧几里德小姐把一块六面体的木块放在桌上,然后对学生们说:“今天给大家出一道应用题。关于这个立方体,我要问三个问题。”
b.“假如我们有一个工作台,我们切九刀就能把这个立方体割成64块小立方体。”
c.“如果在切每一刀之前,允许我们把切下的部分重新摆放,那么我们六刀便可切出64块。第一个问题就是,请证明,要切出64块,最少切六刀。”
d.学生们开始忙于解题。欧几里德小姐又在立方体的相邻两面上画了两条对角线,并且这两条线有一个公共顶点。“第二个问题是,”欧几里德小姐说,“求出这两条对角线夹角的度数。”
e.欧几里德小姐把一根直尺放在木块上,准备提问最后一个问题:“怎样用最简单的方法,只用直尺来量出AB两点的空间长度?”对这几个问题你打算怎样解决?我可以解决其中两个问题。
欧几里德小姐的立方体
第一个问题的答案是:要证明将一个4×4×4的立方体切成64个小立方体至少切六刀(切每一刀时都可以任意摆放每一块的位置),只需考察处于大立方体内部的8个小立方体中的任意一个。这种小立方体的六个面都处在大立方体的内部,没有任何一面暴露于大立方体的外表面,而且,小立方体的每个面都必须在切一刀之后才能形成,所以,要切出这样一个小立方体至少需六刀。
那么,是否有一个一般的方法,用最少的刀数把一个规则的长方体切成若干小立方体,当然在切的过程中允许任意安排每一块的位置。回答是肯定的,具体方法如下:长宽高三条棱相交于一点,从这一点出发,分别把长宽高分成若干个单位长度,由此确定可切的最少刀数。对每条棱,在尽可能靠近中心的位置切,然后把切下的两部分摞在一起,再在尽可能靠近中心的地方切,直至切到每一部分都是单位长度为止。三条棱需切的刀数之和,就是所求的最少刀数。
例如,一个3×4×5的盒子至少需切7刀:长度为3的边需切2刀,边长为4的需切2刀,边长为5的需3刀,一共需7刀。这种一般切法的证明早在1952年出版的《数学杂志》上便有登载。
第二个问题的答案:解决这个问题的思路是这样,在立方体的另一个面上画一个对角线,使这条线与原有的两条对角线一起构成一个封闭的三角形,见图2—22。这三条线相等,构成一个正三角形,那么这个三角形的每个角都是60度,所以欧几里德小姐提出的角度是60度。
图2-22
对这个问题我们还可以进一步引申一下,假如欧几里德小姐如图2—23所示在立方体上画两条线,A、B、C分别为三条棱的中心,那么AB与BC所夹的平面角的度数是多少?
图2-23
思路同前。首先,依次连接另四个面上相应棱的中点,使之形成一个绕立方体一周的封闭图形。这个封闭图形六条边,每边等长,而且每两边的夹角相等。如果我们能证明这个六边形的六个顶点都在同一平面上,那么这六条线构成的则必然是正六边形。而证明这六点共面需要一点演绎或者解析几何的知识,不过你可以实际操作一下,把一个正立方体木块沿着问题中涉及到的六个棱的中心锯开,你会发现这个切面恰好把立方体两等分,六点确实共面。
一个正立方体被如此两等分,且切面是一个正六边形,这一事实似乎不好想象或者有点出人意料。但是事实既然如此,我们只好把最初那两条线看作是这个正六边形的两条边,而其夹角则是正六边形的一个内角,即120度。
从图23中我们还可以想到另外一个有趣的问题。假如一只苍蝇循着立方体的表面从A点爬向C点,请问,从A经由B点到达C点的路径是最短路径吗?
这里我们必须很清楚我们的思考方法,假设我们能“打开”这个立方体,即使相邻两面成为一个平面,那么在这个平面上连接AC两点的线段就是从A到C的最短路径。需要注意的是这样做的具体途径有两个:旋转顶面使之与前面重合,或者使前面与右面合二为一。前一种情况AC长√2 ,后一种情况AC长√2.5,这说明图23画出的线路就是从A到C的最短路径。
第三个问题的答案:你完全可以先在某一个面上测量,得到数据后两次利用勾股定理求出要求的空间对角线的长度。可是有一个更简单的方法,找一个长方形桌面的桌子,设立方体的棱长为X,从桌角起沿桌边量出距离X,在这点处做个记号,让立方体的一个顶点处在这一点上,一条棱重合于桌边,如图2—24所示,显然,AB两点问的距离就是所要求的立方体的空间对角线的长度,它可以用尺子直接量出来。
图2-24
有一个大球,要量出它的半径,而尺子的长度只是大球直径的三分之二,怎么办?一个简单的方法是,在球上某部分涂上口红或别的什么颜色的涂料,然后把这个球放在地板上靠近墙边,让涂色那一部分与墙面接触,那么口红就会在墙上做了一点记号,这一点距地面的高度很容易用尺子直接量出,其长度即大球的半径。
想试试怎样用最简单的方法测量出圆锥体或正四面体的高吗?想试试怎样用木匠的角尺测出圆柱形管子的半径吗?
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