高中数学奇偶性检测考试题(有答案)
1.3.2 奇偶性 第二课时 优化训练
1.若函数f(x)=x3(xR),则函数y=f(-x)在其定义域上是()
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
解析:选B.f(-x)=-x3为奇函数,
x1<x2,-x1>-x2.
f(-x1)-f(-x2)=-x31-(-x32)=x32-x31>0,
f(-x1)>f(-x2),f(-x)为减函数.
2.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+)上是增函数,若f(a)f(b),则一定可得()
A.a B.ab
C.|a||b| D.0b或a0
解析:选C.对于定义域为R的偶函数,若x0,则f(|x|)=f(x);若x0,则f(|x|)=f(-x)=f(x).所以,定义域为R的偶函数f(x)对于任意xR,有f(|x|)=f(x).于是由f(a)f(b),可得f(|a|)f(|b|).而|a|0,再由f(x)在[0,+)上是增函数可得|a||b|,故选C.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是()
A.y=x(x-2) B.y=x(|x|+2)
C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)
解析:选D.由x0时,f(x)=x2-2x,f(x)是定义在R上的奇函数得:当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=x(-x-2).
f(x)=xx-2x0,x-x-2 x<0,即f(x)=x(|x|-2).
4.函数f(x)=x3+ax,f(1)=3,则f(-1)=________.
解析:显然f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=-3.
答案:-3
1.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)的值等于()
A.-2 B.-4
C.-6 D.-10
解析:选D.令F(x)=f(x)+4=ax3+bx,显然F(x)=ax3+bx为奇函数,F(-2)=f(-2)+4=6,F(2)=f(2)+4=-6,f(2)=-10.
2.若f(x)是偶函数,其定义域为(-,+),且在[0,+)上是减函数,则f(-32)与f(a2+2a+52)的大小关系是()
A.f(-32)>f(a2+2a+52)
B.f(-32)<f(a2+2a+52)
C.f(-32)f(a2+2a+52)
D.f(-32)f(a2+2a+52)
解析:选C.a2+2a+52=(a+1)2+3232,f(-32)=f(32)f(a2+2a+52).
3.若(x),g(x)都是奇函数,f(x)=a(x)+bg(x)+2在(0,+)上有最大值5,则f(x)在(-,0)上有()
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
解析:选C.(x)、g(x)都是奇函数,
f(x)-2=a(x)+bg(x)为奇函数.
又f(x)有最大值5,f(x)-2在(0,+)上有最大值3.
f(x)-2在(-,0)上有最小值-3,
f(x)在(-,0)上有最小值-1.
4.若函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则()
A.f(3)+f(4)>0 B.f(-3)-f(-2)<0
C.f(-2)+f(-5)<5 D.f(4)-f(-1)>0
解析:选D.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,可得f(x)在[0,6]上单调递增,依题意有:-4<-1f(-4)>f(-1)f(4)-f(-1)>0.
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)的解析式为f(x)=()
A.x2-|x|+1 B.-x2+|x|+1
C.-x2-|x|-1 D.-x2-|x|+1
解析:选D.设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1,
∵f(-x)=-f(x),-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.
6.(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2[0,+)(x1x2),有fx2-fx1x2-x10,则()
A.f(3)f(-2)f(1)
B.f(1)f(-2)f(3)
C.f(-2)f(3)
D.f(3)f(-2)
解析:选A.由已知fx2-fx1x2-x10,得f(x)在x[0,+)上单调递减,由偶函数性质得f(3)f(-2)f(1),故选A.
7.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是________.
解析:利用函数f(x)是偶函数,则k-1=0,k=1,f(x)=-x2+3即可得出单调区间.
答案:[0,+)
8.若f(x)是偶函数,当x[0,+)时f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是________.
解析:
偶函数的图象关于y轴对称,先作出f(x)的图象,如图所示,由图可知f(x)<0的解集为{x|-1<x<1},
f(x-1)<0的解集为{x|0<x<2}.
答案:{x|0<x<2}
9.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a+b________0(填“>”、“<”或“=”).
解析:f(a)+f(b)>0,f(a)>-f(b),
f(a)>f(-b),f(x)为减函数,
a<-b,a+b<0.
答案:<
10.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25,求函数f(x)的解析式.
解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
f(0)=0,即b1+02=0,b=0,
又f(12)=12a1+14=25,a=1,
f(x)=x1+x2.
11.设函数f(x)在R上是偶函数,在区间(-,0)上递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求a的取值范围.
解:由f(x)在R上是偶函数,在区间(-,0)上递增,
可知f(x)在(0,+)上递减.
∵2a2+a+1=2(a+14)2+78>0,
2a2-2a+3=2(a-12)2+52>0,
且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),
2a2+a+1>2a2-2a+3,
即3a-2>0,解得a>23.
12.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=1x-1,求f(x),g(x).
解:由f(x)+g(x)=1x-1. ①
把x换成-x,得
f(-x)+g(-x)=1-x-1,
∵f(x)为偶函数,f(-x)=f(x).
又∵g(x)为奇函数,
g(-x)=-g(x),
f(x)-g(x)=-1x+1. ②
由①②得f(x)=1x2-1,g(x)=xx2-1.
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