高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于()

　 A.45 B.35 C．－45 D．－35

　 解析　B　由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35.

2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是()

A．直角 三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

　 解析　A　sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1，

又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形．

3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为()

A．25 B．51 C．493 D．49

　 解析　D　由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理，

有BC2＝162＋552－21655cos 60＝2 401，得BC＝49.

4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是()

A．sin(＋sin ＋sin B．cos(＋cos cos

C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－)

　 解析　C　∵sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ，

又∵、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)．

5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电

视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东

75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()

A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km

　解析　B　如图，由条件知AB＝241560＝6 .在△ABS中，BAS＝30，

AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45.

由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45，

所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B.

(2011威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，

直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是()

A．y＝4sin4x＋ B．y＝2sin2x＋3＋2

C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2

　 解析　D　∵A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2.

∵T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2.

∵x＝3是其对称轴，sin43＋＝1.

43＋2＋kZ)． ＝k6(kZ)．

当k＝1时，6，故选D.

7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是()

A．0 B. C. D．

　解析　C　当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数．

8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

　解析　B　C＝90时，A与B互余，sin A＝cos B，cos A＝sin B，有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立；但当A＝B时，也有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立，故“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的必要不充分条件．

9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

　解析　D　∵2b＝a＋c，4b2＝(a＋c)2，

又∵b2＝ac，(a－c)2＝0，a＝c，2b＝a＋c＝2a，

b＝a，即a＝b＝c.

10．f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，则()

A．f(x－1)一定是奇函数 B．f(x－1)一定是偶函数

C．f(x＋1)一定是奇函数 D．f(x＋1)一定是偶函数

　解析　D　∵f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，函数f(x＋1)是偶函数．

11．函数y＝sin2x－3在区间－上的简图是()

解析　A　令x＝0得y＝sin－3＝－32，排除B，D.由f－3＝0，f6＝0，排除C.

12．若tan ＝lg(10a)，tan ＝lg1a，且＋＝4，则实数a的值为()

A．1 B.110 C．1或110 D．1或10

　 解析　C　tan(＋)＝1tan ＋tan 1－tan tan＝lg10a＋lg1a1－lg10alg1a＝1lg2a＋lg a＝0，

所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．(2011黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(x＋)的图象如图所

示，f2＝－23，则f(0)＝________.

　解析　由图象可得最小正周期为2 所以f(0)＝f23，注意到22关于712对称，

故f23＝－f2＝23.

【答案】　23

14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且

满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．

　解析　由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，2cos C＝1.C＝60.

又∵ab＝4，S△ABC＝12absin C＝124sin 60＝3.

【答案】　3

15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其

轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的

高度为________m.

　解析　轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60＝53(m)．

【答案】　53

16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为i(i＝1,2,3)，则cos13cos2＋33－sin13sin2＋33＝________.

　解析　记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情

形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知

有1＝2＝3＝23＝43，此时cos13cos2＋33－sin13sin2＋33

＝cos1＋2＋33＝cos43＝cos3＝－cos3＝－12.

【答案】　－12

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．

　解析　∵lg sin B＝lg22，sin B＝22，

∵B为锐角，B＝45.

又∵lg a－lg c＝lg22，ac＝22.

由正弦定理，得sin Asin C＝22，

2sin C＝2sin A＝2sin(135－C)，

即sin C＝sin C＋cos C，cos C＝0，C＝90，

故△ABC为等腰直角三角形．

18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋1(xR，＞0)的最小正周期是2.

(1)求 的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

　解析　(1)f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋1

＝sin 2x＋cos 2x＋2

＝2sin2x＋4＋2.

由题设，函数f(x)的最小正周期是2，可得2＝2，

所以＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋4＋2.

当4x＋2＋2kZ)，即x＝16＋k2(kZ)时，

sin4x＋4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝16＋k2，kZ.

19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.

(1)求角C的大小；

(2)如果a＋b＝6，CACB＝4，求c的值．

　解析　(1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，

所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.

因为C(0，)，所以C＝3.

(2)因为CACB＝|CA||CB|cos C＝12ab＝4，

所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.

所以c的值为23.

20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.

(1)求角A的大小；

(2)求y＝2sin2B＋cos3－2B的值域．

　解析　(1)由m∥n得(2b－c)cos A－acos C＝0.

由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0.

所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，

即2sin Bcos A－sin B＝0.

因为A，B(0，)，所以sin B0，cos A＝12，

所以A ＝3.

(2)y＝2sin2B＋cos3cos 2B＋sin3sin 2B

＝1－12cos 2B＋32sin 2B

＝sin2B－6＋1.

由(1)得023，所以－2B－76，

所以sin2B－－12，1，所以y12，2.

21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋)(－0)的图象过点8，－1.

(1)求；

(2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间；

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，]上的图象．

　解析　(1)∵f(x)＝sin(2x＋)的图象过点8，－1，

－1＝sin4＋，4＝2k2(kZ)，

又(－，0)，＝－34.f(x)＝sin2x－34.

(2)由题意，T＝2，由(1)知f(x)＝sin2x－34，

由2k22x－32k2(kZ)得增区间为k8，k8(kZ)．

(3)f(x)在[0，]上的图象如图：

22．(12分)已知sin－4＝35，34.

(1)求cos－4的值；

(2)求sin 的值．

　解析　(1)∵sin－4＝35，且34，

0－2，cos－4＝ 45.

(2)sin ＝sin－4＝sin－4＋cos－4＝7210.

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