《圆》整章复习导学案

时间：12.31

本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.

一、基本知识和需说明的问题:

(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.

1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦(不是直径的弦);(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦(不是直径的弦)的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦(不是直径的弦)的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.

应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.

2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.

3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.

4.圆内接四边形的性质:略.

(二)直线和圆的位置关系

1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)

2.切线的判定有两种方法.

①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.

②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.

3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.

连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.

4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意, A

B

(三)圆和圆的位置关系

1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.

2.相交两圆,添加公共弦,通过公共弦将两圆连结起来.

(四)正多边形和圆

1、弧长公式

2、扇形面积公式

3、圆锥侧面积计算公式

S= 2π =π

二巩固练习

一、精心选一选，相信自己的判断!(本题共12小题，每小题3分，共33分)

1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于

A.50° B.80° C.90 D.100°

3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC =

A.90° B.60° C.45° D.30°

4.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为 A.2 B.1 C.0 D.不确定

5.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2 =10cm，则两圆的位置关系是 A.外切 B.内切 C.相交 D.相离

6.已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径是

A.3厘米 B.4厘米 C.5厘米 D.8厘米

7.下列命题错误的是

A.经过三个点一定可以作圆 B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

8.在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定

A.与x轴相离、与y轴相切 B.与x轴、y轴都相离

C.与x轴相切、与y轴相离 D.与x轴、y轴都相切

9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是

A.25π B.65π C.90π D.130π

10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为

A.73 π-78 3 B.43 π+78 3 C.π D.43 π+3

11.如图，已知圆锥的底面圆半径为r(r0)，母线长OA为3r，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为

A.3 2 r B.33 2 r C. 3 3 r D.33 r

二、细心填一填，试自己的身手!(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

12.各边相等的圆内接多边形_____正多边形;各角相等的圆内接多边形_____正多边形.(填“是”或“不是”)

13.△ABC的内切圆半径为r，

△ABC的周长为l，则△ABC的面积

为_______________ .

14.已知在⊙O中，半径r=13，

弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为__________.

15.同圆的内接正四边形和内接正方边形的连长比为

16.如图，在边长为3cm的正方形中，⊙P与⊙Q相外切，且⊙P分别与DA、DC边相切，⊙Q分别与BA、BC边相切，则圆心距PQ为______________.

17.如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为_________s时，BP与⊙O相切.

三、用心做一做，显显自己的能力!(本大题共10小题，满分70分)

18.(本题满分8分)如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm)，则此时水面宽AB为多少?

19.(本题满分8分)如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.求∠P的度数.

20.(本题满分8分)如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D在⊙O上，连接AD、BD，∠A=∠B=30°，BD是⊙O的切线吗?请说明理由.

21.如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长24线上一点，切线DE平分AC于E.

(1)求证： AC是⊙O 的切线.(2)若∠A =45°，AC =10，求四边形BCED的面积.

22. (本题满分10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F.

(1)求证：BC与⊙O相切;

(2)当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数

23.如图，AC是⊙O的直径，PA、PB切⊙O于A、B，AC、PB的延长线交于D，若AC=3cm，DC=1cm，

DB=2cm，求：(1)PB的长;(2)ΔDOP的面积.

24.(本题满分12分)已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=53 .请求出：

(1)∠AOC的度数;

(2)劣弧AC的长(结果保留π);

(3)线段AD的长(结果保留根号).

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