上海交大附中高二数学下册期末测试卷答案
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高二数学下册期末测试卷答案
(满分150分,120分钟完成,答案一律写在答题纸上)
一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)
1.设复数 满足 ,则 ______ ______。
2.三个平面最多把空间分割成 8 个部分。
3.若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形,则这个圆锥的体积是 。
4.如图,在正三棱柱 中, ,异面直线 与 所成角
的大小为 ,该三棱柱的体积为 。
5. 的展开式中的常数项是 60 。
6.8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有 512 种。
7.将三个1、三个2、三个3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,则不同的填写方法共有 12 种。
8.用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色,若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色,那么不同的染色方法共有_____24________种。
9.从 个正整数 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 的概率为 ,则 8 。
10.用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数,这个数是偶数的概率为 。
11.设复数 , , 在复平面上所对应点在
直线 上,则 = 。
12.如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,
则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。
13.在直三棱柱 中,底面ABC为直角三角形, , . 已知G与E分别为 和 的中点,D与F分别为线段 和 上的动点(不包括端点). 若 ,则线段 的长度的最小值为 。
【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则 ( ), , , ( )。所以 , 。因为 ,所以 ,由此推出 。又 , ,从而有 。
14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 //平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.
因
,
故 ,从而 .
记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体
的棱长为 ,过 作 于 .
因 ,有 ,故小三角形的边长 .
小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
.
又 , ,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .
二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)
15. 已知 为异面直线, 平面 , 平面 .平面与外的直线 满足 ,则(D )
A. ,且 B. ,且
C. 与 相交,且交线垂直于 D. 与 相交,且交线平行于
16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( A )
A. B. C. D.
17.三个人乘同一列火车,火车有10节车厢,则至少有2人上了同一车厢的概率为 ( B )
A. B. C. D.
18. 除以100的余数是(C)
A.1 B.79C.21D.81
解:
=
= 4
即 除以100的余数为21。
三、解答题(本大题共5题,满分74分12+14+14+16+18=74)
19.如图,AB是底面半径为1的圆柱的一条母线,O为下底面中心,BC是下底面的一条切线。
(1)求证:OB
(2)若AC与圆柱下底面所成的角为30,OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。
解:(1)连结OB,由圆的切线性质有OBBC,而BC是AC在底面⊙O
上的射影,OB平面ABC,OBAC。
(2)在RtOA B中,AB= .
又∵ACB就是AC与底面⊙O所成角, ,
20.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,侧棱长为6,D为AC中点。
(1)求证:直线AB1∥平面C1DB;
(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。
证明:(1)连B C交 于E,连DE, 则DE∥ ,
而DE 面C DB, 面C DB,
(2)由(1)知DEB为异面直线 所成的角,在
。
21.已知:对于任意的多项式 与任意复数z, 整除 。利用上述定理解决下列问题:
(1)在复数范围内分解因式: ;
(2)求所有满足 整除 的正整数n构成的集合A。
解:(1)令 解得两个根 ,这里
所以
(2)记 。 有两个根 ,这里 ,
22.设 ( 是正整数),利用赋值法解决下列问题:
(1)求 ;
(2) 为偶数时,求 ;
(3) 是3的倍数时,求 。
解:令 ,
(1) ,所以
(2) ,
所以
(3)记 ,则 。当 时, ,当 时, ,
记 , ,
,
,
则
从上到下各式分别乘以 ,求得
。即
23.宇宙深处有一颗美丽的行星,这个行星是一个半径为r(r0)的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60,东经30B点落在东经30的赤道上;C点落在北纬60,东经90。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。
(1)求AC两点间的球面距离;
(2)求P点的经度;
(3)求AP两点间的球面距离。
解:设球心为O,北纬60圈所对应的圆心为O,
(1)那么OO= 。OA=OC= 。又因为AOC=60。
所以AC= 。那么AOC= ( )
两点间的球面距离为 ( )
(2)PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离,所以PB=AB。
可知POB=AOB=60,又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90或西经30。
(3)显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90。
由条件可知OA平行OB且等于OB的一半,延长BA与OO交于D点,那么 。而OC平行OP且等于OP的一半,所以D、P、C共线且 。
可知AC∥BP,所以A、B、C、P共面。
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