学习目标：

1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;

2.掌握椭圆的定义;

3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P61~ P63，文P32~ P34找出疑惑之处)

复习1：过两点 , 的直线方程 .

复习2：方程 表示以 为圆心, 为半径的 .

二、新课导学

※ 学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 .

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线?

思考：移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数.

新知1： 我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .

反思：若将常数记为 ，为什么 ?

当 时，其轨迹为 ;

当 时，其轨迹为 .

试试：

已知 ， ，到 ， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 .

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点;

②看是否满足常数 .

新知2：焦点在 轴上的椭圆的标准方程

其中

若焦点在 轴上，两个焦点坐标 ，

则椭圆的标准方程是 .

※ 典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴ ，焦点在 轴上;

⑵ ，焦点在 轴上;

⑶ .

变式：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的范围 .

小结：椭圆标准方程中： ; .

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程 .

变式：椭圆过点 ， ， ，求它的标准方程.

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 .

※ 动手试试

练1. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是( ).

A. B.6 C. D.12

练2 .方程 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的范围.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 椭圆的定义：

2. 椭圆的标准方程：

※ 知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.平面内一动点 到两定点 、 距离之和为常数 ，则点 的轨迹为().

A.椭圆 B.圆

C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹

2.如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是( ).

A. B.

C. D.

3.如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，那么点 到另一个焦点 的距离是( ).

A.4 B.14 C.12 D.8

4.椭圆两焦点间的距离为 ，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 和 ，则椭圆的标准方程

是 .

5.如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，点 的轨迹是 ，它的方程是 .

课后作业

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在 轴上，焦距等于 ，并且经过点 ;

⑵焦点坐标分别为 ， ;

⑶ .

2. 椭圆 的焦距为 ，求 的值.

高二数学教案：圆锥曲线与方程导教案

学习目标

1.掌握点的轨迹的求法;

2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

学习过程

一、课前准备

复习1：椭圆上 一点 到椭圆的左焦点 的距离为 ，则 到椭圆右焦点 的距离

是 .

复习2：在椭圆的标准方程中, , ,则椭

圆的标准方程是

二、新课导学

※ 学习探究

问题：圆 的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ;

反之,到点 的距离等于 的所有点都在

圆 上.

※ 典型例题

例1在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么?

变式： 若点 在 的延长线上，且 ，则点 的轨迹又是什么?

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横(纵)坐标不变，而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆.

例2设点 的坐标分别为 ，.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程 .

变式：点 的坐标是 ，直线 相交于点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率的商是 ，点 的轨迹是什么?

※ 动手试试

练1.求到定点 与到定直线 的距离之比为 的动点的轨迹方程.

练2.一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线.

三、总结提升

※ 学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式;

②相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.

※ 知识拓展

椭圆的第二定义：

到定点 与到定直线 的距离的比是常数 的点的轨迹.

定点 是椭圆的焦点;

定直线 是椭圆的准线;

常数 是椭圆的离心率.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.若关于 的方程 所表示的曲线是椭圆，则 在( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.若 的个顶点坐标 、 ， 的周长为 ，则顶点C的轨迹方程为( ).

A. B. C. D.

3.设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是( ).

A.椭圆 B.线段

C.不存在 D.椭圆或线段

4.与 轴相切且和半圆 内切的动圆圆心的轨迹方程是 .

5. 设 为定点，| |= ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 .

课后作业

1.已知三角形 的一边长为 ，周长为 ，求顶点 的轨迹方程.

2.点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形.

2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)

学习目标

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形;

2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处)

复习1： 椭圆 上一点 到左焦点的距离是 ，那么它到右焦点的距离是 .

复习2：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 .

※ 学习探究

问题1：椭圆的标准方程 ，它有哪些几何性质呢?

范围： ： ：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称;

顶点：( )，( )，( )，( );

长轴，其长为 ;短轴，其长为 ;

离心率：刻画椭圆 程度.

椭圆的焦距与长轴长的比 称为离心率，

记 ，且 .

试试：椭圆 的几何性质呢?

图形：

范围： ： ：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称;

顶点：( )，( )，( )，( );

长轴，其长为 ;短轴，其长为 ;

离心率： = .

反思： 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?

※ 典型例题

例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

变式：若椭圆是 呢?

小结：①先化为标准方程，找出 ，求出 ;

②注意焦点所在坐标轴.

例2 点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹.

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆 .

※ 动手试试

练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在 轴上， ， ;

⑵焦点在 轴上， ， ;

⑶经过点 ， ;

⑷长轴长等到于 ，离心率等于 .

三、总结提升

※ 学习小结

1 .椭圆的几何性质：

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;

2 .理解椭圆的离心率.

※ 知识拓展

(数学与生活)已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.若椭圆 的离心率 ，则 的值是( ).

A. B. 或 C. D. 或

2.若椭圆经过原点，且焦点分别为 ， ，则其离心率为( ).

A. B. C. D.

3.短轴长为 ，离心率 的椭圆两焦点为 ，过 作直线交椭圆于 两点，则 的周长为( ).

A. B. C. D.

4.已知点 是椭圆 上的一点，且以点 及焦点 为顶点的三角形的面积等于 ，则点 的坐标是 .

5.某椭圆中心在原点，焦点在 轴上，若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 .

课后作业

1.比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁?

⑴ 与 ;

⑵ 与 .

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴经过点 ， ;

⑵长轴长是短轴长的 倍，且经过点 ;

⑶焦距是 ，离心率等于 .

2.2.2 椭圆及其简单几何性质

学习目标

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质;

2.椭圆与直线的关系.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处)

复习1： 椭圆 的焦点坐标是( )( ) ;长轴长 、短轴长 ;离心率 .

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定?

二、新课导学

学习探究

问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?

问题2：椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定?

反思：点与椭圆的位置如何判定?

典型例题

例1 已知椭圆 ，直线 ：

。椭圆上是否存在一点，它到直线 的距离最小?最小距离是多少?

变式：最大距离是多少?

动手试试

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

，离心率 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离.

练2.经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ，直线 与椭圆相交于 两点，求 的长.

三、总结提升

学习小结

1 .椭圆在生活中的运用;

2 .椭圆与直线的位置关系：

相交、相切、相离(用 判定).

※ 知识拓展 直线与椭圆相交，得到弦，

弦长

其中 为直线的斜率， 是两交点坐标.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.设 是椭圆 ， 到两焦点的距离之差为 ，则 是( ).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ).

A. B. C. D.

3.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到 轴的距离为( ).

A. B. 3 C. D.

4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 .

5.椭圆 的焦点分别是 和 ，过原点 作直线与椭圆相交于 两点，若 的面积是 ，则直线 的方程式是 .

课后作业

1. 求下列直线 与椭圆 的交点坐标.2.若椭圆 ，一组平行直线的斜率是

⑴这组直线何时与椭圆相交?

⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?

2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标

1.掌握双曲线的定义;

2.掌握双曲线的标准方程.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处)

复习1：椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习2：在椭圆的标准方程 中， 有何关系?若 ，则 写出符合条件的椭圆方程.

二、新课导学

※ 学习探究

问题1：把椭圆定义中的距离的和改为距离的差，那么点的轨迹会怎样?

如图2-23，定点 是两个按钉， 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点 移动时，

是常数，这样就画出一条曲线;

由 是同一常数，可以画出另一支.

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点 的距离的差的 等于常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点 叫做双曲线的 ，

两焦点间的距离 叫做双曲线的 .

反思：设常数为 ，为什么 ?

时，轨迹是 ;

时，轨迹 .

试试：点 ， ，若 ，则点 的轨迹是 .

新知2：双曲线的标准方程：

(焦点在 轴)

其焦点坐标为 ， .

思考：若焦点在 轴，标准方程又如何?

※ 典型例题

例1已知双曲线的两焦点为 ， ，双曲线上任意点到 的距离的差的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程.

变式：已知双曲线 的左支上一点 到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 .

例2 已知 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式：如果 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.

动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

(1)焦点在 轴上， ， ;

(2)焦点为 ，且经过点 .

练2.点 的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们斜率之积是 ，试求点 的轨迹方程式，并由点 的轨迹方程判断轨迹的形状.

三、总结提升

※ 学习小结

1 .双曲线的定义;

2 .双曲线的标准方程.

※ 知识拓展

GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用.

在例2中，再增设一个观察点 ，利用 ， 两处测得的点 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点 的准确位置.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是( ).

A. 双曲线 B. 双曲线的一支

C. 两条射线 D. 一条射线

2.双曲线 的一个焦点是 ，那么实数 的值为( ).

A. B. C. D.

3.双曲线的两焦点分别为 ，若 ，则 ( ).

A. 5 B. 13 C. D.

4.已知点 ，动点 满足条件 . 则动点 的轨迹方程为 .

5.已知方程 表示双曲线，则 的取值范围 .

课后作业

1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

(1)焦点在 轴上， ，经过点 ;

(2)经过两点 ， .

2.相距 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 ，已知声速是 ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么?

2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

学习目标

1.理解并掌握双曲线的几何性质.

学习过程

一、 课前准备：

(预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处)

复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：

① ，焦点在 轴上;

②焦点在 轴上，焦距为8， .

前面我们学习了椭圆的哪些几何性质

二、新课导学：

※ 学习探究

问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线 的几何性质?

范围： ： ：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称.

顶点：( )，( ).

实轴，其长为 ;虚轴，其长为 .

离心率： .

渐近线：

双曲线 的渐近线方程为： .

问题2：双曲线 的几何性质?

图形：

范围： ： ：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称.

顶点：( )，( )

实轴，其长为 ;虚轴，其长为 .

离心率： .

渐近线：

双曲线 的渐近线方程为： .

新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.

典型例题

例1求双曲线 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.

变式：求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

例2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上;

⑵离心率 ，经过点 ;

⑶渐近线方程为 ，经过点 .

※ 动手试试

练1.求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.

练2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是 ，求它的标准方程和渐近线方程.

三、总结提升：

※ 学习小结

双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线.

※ 知识拓展

与双曲线 有相同的渐近线的双曲线系方程式为

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1. 双曲线 实轴和虚轴长分别是( ).

A. 、 B. 、

C.4、 D.4、

2.双曲线 的顶点坐标是( ).

A. B. C. D.( )

3. 双曲线 的离心率为( ).

A.1 B. C. D.2

4.双曲线 的渐近线方程是 .

5.经过点 ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 .

课后作业

1.求焦点在 轴上，焦距是16， 的双曲线的标准方程.

2.求与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的方程.

2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

学习目标

1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;

2.掌握椭圆的定义;

3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处)

复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为 ，

其顶点坐标是( )，( );

渐近线方程 .

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：椭圆 的焦点是?

探究2：双曲线的一条渐近线方程是 ，则可设双曲线方程为?

问题：若双曲线与 有相同的焦点，它的一条渐近线方程是 ，则双曲线的方程是?

※ 典型例题

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程.

例2点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹.

(理)例3过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 两点的坐标.

变式：求 ?

思考： 的周长?

※ 动手试试

练1.若椭圆 与双曲线 的焦点相同，则 =____.

练2 .若双曲线 的渐近线方程为 ，求双曲线的焦点坐标.

三、总结提升

※ 学习小结

1.双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合;

2.双曲线的另一定义;

3.(理)直线与双曲线的位置关系.

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.若椭圆 和双曲线 的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则 的值为( ).

A. B. C. D.

2.以椭圆 的焦点为顶点，离心率为 的双曲线的方程( ).

A. B.

C. 或 D. 以上都不对

3.过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 ， 是另一焦点，若 ，则双曲线的离心率 等于( ).

A. B. C. D.

4.双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_______________.

5.方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则 的取值范围 .

课后作业

1.已知双曲线的焦点在 轴上，方程为 ，两顶点的距离为 ，一渐近线上有点 ，试求此双曲线的方程.

2.4.1抛物线及其标准方程

学习目标

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处)

复习1：函数 的图象是 ，它的顶点坐标是( )，对称轴是 .

复习2：点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，则点 的轨迹是什么图形?

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：若一个动点 到一个定点 和一条定直线 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢?

新知1：抛物线

平面内与一个定点 和一条定直线 的

距离 的点的轨迹叫做抛物线.

点 叫做抛物线的 ;

直线 叫做抛物线的 .

新知2：抛物线的标准方程

定点 到定直线 的距离为 ( ).

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

试试：

抛物线 的焦点坐标是( )，

准线方程是 ;

抛物线 的焦点坐标是( )，

准线方程是 .

※ 典型例题

例1 (1)已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的焦点是 ，求它的标准方程.

变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：

⑴焦点坐标是(0,4);

⑵准线方程是 ;

⑶焦点到准线的距离是 .

例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为 ，深度为 ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.

※ 动手试试

练1.求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 焦点坐标是 ;

(2) 焦点在直线 上.

练2 .抛物线 上一点 到焦点距离是 ，则点 到准线的距离是 ，点 的横坐标是 .

三、总结提升

※ 学习小结

1.抛物线的定义;

2.抛物线的标准方程、几何图形.

※ 知识拓展

焦半径公式：

设 是抛物线上一点，焦点为 ，则线段 叫做抛物线的焦半径.

若 在抛物线 上，则

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.对抛物线 ，下列描述正确的是( ).

A.开口向上，焦点为

B.开口向上，焦点为

C.开口向右，焦点为

D.开口向右，焦点为

2.抛物线 的准线方程式是( ).

A. B.

C. D.

3.抛物线 的焦点到准线的距离是( ).

A. B. C. D.

4.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标是 .

5.抛物线 上一点 的纵坐标为4，则点 与抛物线焦点的距离为 .

课后作业

1.点 到 的距离比它到直线 的距离大1，求 点的轨迹方程.

2.抛物线 上一点 到焦点 的距离 ，求点 的坐标.

2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

学习目标

1.掌握抛物线的几何性质;

2.根据几何性质确定抛物线的标准方程.

学习过程

一、课前准备

复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 .

复习2：双曲线 有哪些几何性质?

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质?

新知：抛物线的几何性质

图形

试试：画出抛物线 的图形，

顶点坐标( )、焦点坐标( )、

准线方程 、对称轴 、

离心率 .

※ 典型例题

例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程.

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 的抛物线有几条?求出它们的标准方程.

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解.

例2斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于 ， 两点，求线段 的长 .

变式：过点 作斜率为 的直线 ，交抛物线 于 ， 两点，求 .

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解.

※ 动手试试

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：

⑴顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点

， ;

⑵顶点在原点，焦点是 ;

⑶焦点是 ，准线是 .

三、总结提升

※ 学习小结

1.抛物线的几何性质 ;

2.求过一点的抛物线方程;

3.求抛物线的弦长.

※ 知识拓展

抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径.

其长为 .

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.下列抛物线中，开口最大的是( ).

A. B.

C. D.

2.顶点在原点，焦点是 的抛物线方程( ) .

A. B.

C. D.

3.过抛物线 的焦点作直线 ，交抛物线于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ，则 等于( ).

A. B. C. D.

4.抛物线 的准线方程是 .

5.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，则 = .

课后作业

1. 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出

图形：

⑴顶点在原点，对称轴是 轴，并且顶点与焦点的距离等到于 ;

⑵顶点在原点，对称轴是 轴，并且经过点 .

2 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点， ，求 .

2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)

学习目标

1.掌握抛物线的几何性质;

2.抛物线与直线的关系.

学习过程

一、课前准备

复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点 的抛物线的方程为( ).

A. B. 或

C. D. 或

复习2：已知抛物线 的焦点恰好是椭圆 的左焦点，则 = .

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：抛物线 上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：

① 这点到准线的距离为 ;

② 焦点到准线的距离为 ;

③ 抛物线方程 ;

④ 这点的坐标是 ;

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 .

※ 典型例题

例1过抛物线焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，通过点 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 ，求证：直线 平行于抛物线的对称轴.

(理)例2已知抛物线的方程 ，直线 过定点 ，斜率为 为何值时，直线 与抛物线 ：只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

小结：

① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ;

②直线与抛物线只有一个公共点时，

它们可能相切，也可能相交.

※ 动手试试

练1. 直线 与抛物线 相交于 ， 两点，求证： .

2.垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.

三、总结提升

※ 学习小结

1.抛物线的几何性质 ;

2.抛物线与直线的关系.

※ 知识拓展

过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，则 为定值，其值为 .

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ， 两点，则 的最小值为( ).

A. B. C. D. 无法确定

2.抛物线 的焦点到准线的距离是( ).

A. B. C. D.

3.过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有( ).

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

4.若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段 的中点坐标是______.

5.抛物线上一点 到焦点 的距离是 ，则抛物线的标准方程是 .

课后作业

1.已知顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线与直线 交于 ， 两点， = ，求抛物线的方程.

2. 从抛物线 上各点向 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

第二章 圆锥曲线与方程(复习)

学习目标

1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程;

2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质;

3.能解决直线与圆锥曲线的一些问题.

学习过程

一、课前准备

(预习教材理P78~ P81，文P66~ P69找出疑惑之处)

复习1：完成下列表格：

椭圆 双曲线 抛物线

定义

图形

标准方程

顶点坐标

对称轴

焦点坐标

离心率

(以上每类选取一种情形填写)

复习2：

① 若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为__________;

②双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，则双曲线的方程为 ;

③以椭圆 的右焦点为焦点的抛物线方程为 .

二、新课导学

※ 典型例题

例1 当 从 到 变化时，方程

表示的曲线的形状怎样变化?

变式：若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是 .

小结：掌握好每类标准方程的形式.

例2设 ， 分别为椭圆C： =1

的左、右两个焦点.

⑴若椭圆C上的点A(1， )到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标;

⑵设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 的中点的轨迹方程.

变式：双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求双曲线的方程.

※ 动手试试

练1.已知 的两个顶点 ， 坐标分别是 ， ，且 ， 所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点 的轨迹.

练2.斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.

三、总结提升

※ 学习小结

1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程;

2.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质;

3.直线与圆锥曲线.

※ 知识拓展

圆锥曲线具有统一性：

⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线;

⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线(不经过定点)距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线;

⑶它们的方程都是关于 ， 的二次方程.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.曲线 与曲线

的( ).

A.长轴长相等 B.短轴长相等

C.离心率相等 D.焦距相等

2.与圆 及圆 都外切的圆的圆心在( ) .

A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上 D.一个圆上

3.过抛物线 的焦点作直线 ，交抛物线于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ，则 等于( ).

A. B. C. D.

4.直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围 .

5.到直线 的距离最短的抛物线 上的点的坐标是 .

课后作业

1.就 的不同取值，指出方程 所表示的曲线的形状.

2. 抛物线 与过点 的直线 相交于 ， 两点， 为原点，若 和 的斜率之和为 ，求直线 的方程.

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