注意全等三角形的构造方法教案_说课稿

注意全等三角形的构造方法教案

以下是查字典数学网为您推荐的注意全等三角形的构造方法教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

注意全等三角形的构造方法

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考.

1.截长补短法

例1.如图(1)已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，

求证：AB+BE=AC.

解法(一)(补短法或补全法)延长AB至F使AF=AC，

由已知△AEF≌△AEC，ACE=45，

BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC.

解法(二)(截长法或分割法)在AC上截取AG=AB，由已知

△ ABE≌△AGE，EG=BE, AGE=ABE,∵ACE=45, CG=EG,

AB+BE=AG+CG=AC.

2.平行线法(或平移法)

若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线.

例2.△ABC中，BAC=60，C=40AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ.

证明：如图(1)，过O作OD∥BC交AB于D，ADO=ABC

=180-60-40=80，又∵AQO=QBC=80，

ADO=AQO，又∵DAO=QAO，OA=AO，

△ADO≌△AQO，OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，

PBO=DOB，又∵PBO=DBO，DBO=DOB，

BD=OD，AB+BP=AD+DB+BP

=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.

说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，

构造全等三角形，即截长补短法.

⑵本题利用平行法解法也较多，举例如下：

① 如图(2)，过O作OD∥BC交AC于D，

则△ADO≌△ABO来解决.

② 如图(3)，过O作DE∥BC交AB于D，

交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决.

③ 如图(4)，过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，

则△APD≌△APC来解决.

④ 如图(5)，过P作PD∥BQ交AC于D，

则△ABP≌△ADP来解决.

(本题作平行线的方法还很多，感兴趣

的同学自己研究).

3.旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

例3.已知：如图(6)，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，

求APB的度数.

分析：直接求APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，

联想到构造直角三角形.

略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60至△ACD，连接PD，

则△BAP≌△ADC，DC=BP=4，∵AP=AD，PAD=60，

又∵PC=5，PD +DC =PC 图(6)

△PDC为Rt△, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150.

4.倍长中线法

题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

例4.如图(7)AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE.

求证：AC=BF

证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，

BDH=ADC，DH=DA，

△BDH≌△CDA，BH=CA，DAC，又∵AE=EF，

DAC=AFE，∵AFE=BFD，AFE= 图(7)

BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF.

5.翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形.

例5.如图(8)已知：在△ABC中，A=45, ADBC，若BD=3，DC=2，

求：△ABC的面积.

解：以AB为轴将△ABD翻转180，得到与它全等

的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180，得到

与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证

四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG

=x-3，CG=x-2，在Rt△BGC中，(x-3) +(x-2) =5 .

解得x=6，则AD=6，S△ABC= 56=15. 图(8)

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