高中数学平面的基本性质与推论检测考试题(附答案)
1.2.1 平面的基本性质与推论 优化训练
1.下列命题:
①公理1可用集合符号叙述为:若Al,Bl,且A,B,则必有l;
②四边形的两条对角线必相交于一点;
③用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面边界线;
④梯形是平面图形.
其中,正确的命题个数为()
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.①中应为l;②中空间四边形对角线异面;③中平面没有界线.
2.空间中可以确定一个平面的条件是()
A.两条直线 B.一点和一直线
C.一个三角形 D.三个点
答案:C
3.点M在直线a上,直线a在平面内,可记为()
A.M B.M
C.Ma D.M
答案:B
4.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面的个数是________.
答案:1个或3个
5.假设一块木板斜立在地面上,当用一根木棒在后面撑住时,能使板面固定,这个道理是________.
答案:过直线和直线外一点有且只有一个平面
1.如图,平面平面=l,A,B,ABl=D,C,且Cl,则平面ABC与平面的交线是()
A.直线AC
B.直线BC
C.直线AB
D.直线CD
解析:选D.由题意知平面ABC与平面有公共点C,根据基本性质3,这两平面必定相交,有且只有一条经过点C的交线.由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内;而D在直线l上,所以它又在平面内,这样D也是平面ABC与平面的公共点.因此平面ABC与平面的交线是直线CD.
2.如图所示,AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1异面的棱共有()
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
解析:选B.依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱.∵AA1在面A1ABB1内,B1在面A1ABB1内,C1不在面A1ABB1内,C1B1是与AA1异面的棱.同理,BC,CD,C1D1都是与AA1异面的棱,故正确答案为B.
3.如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是()
解析:选C.选项A、B中RS与PQ平行;选项D中RS与PQ的延长线相交,选项C中的PQ与下底面平行,它与下底面中的RS不平行,不相交.
4.空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()
A.0,1或2 B.0,2或3
C.1,2或3 D.0,1,2或3
解析:选D.若a、b、c两两异面,不能确定平面,为0个;若三线共面,为1个;若其中两条是异面直线,第3条与它们都相交,确定2个平面;若两两平行不共面,或三线交于一点且不共面,则确定3个平面.
5.下列四种叙述:
①空间四点共面,则其中必有三点共线;
②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;
③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确说法的序号是()
A.②③④ B.②③
C.①②③ D.①③
解析:选B.四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;对于④,三点不共线但四点可以共面.
6.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成()
A.5部分 B.6部分
C.7部分 D.8部分
解析:选C.作出这三个平面的截面,如图所示,把空间分为7部分,本题考查了学生的空间想象能力.顺利作出截面是解决本题的关键,其中l1,l2,l3是截线.
7.已知点A,直线a,平面.
①Aa,aA;②Aa,aA;③Aa,a.
以上命题正确的个数为________.
解析:①中“a”符号不对;②中A可以在内,也可以在外,故不正确;③中“A”符号不对.
答案:0
8.空间2条直线,最多确定1个平面,空间3条直线最多确定3个平面,空间4条直线最多确定________个平面……空间n条直线,最多确定________个平面.
解析:2条直线最多确定1=212个平面;3条最多确定3=322个;4条最多确定432=6个;…;猜想n条最多确定nn-12个平面.
答案:6 nn-12
9.如图是正方体或正四面体,其中P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________.
解析:题图①,③中的PS∥QR,所以P,Q,R,S共面,而题图②,④中的PS与QR是异面直线,所以这四个点不共面.
答案:①③
10.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在直线l上,点B不在直线l上;
(2)直线l在平面内,直线m与平面有且只有一个公共点M;
(3)平面与平面相交于过点A的直线l.
解:(1)符号:Al,Bl,如图①所示.
(2)符号:l,m=M,如图②所示.
(3)符号:=l,Al,如图③所示.
11. 如图所示,已知直线a与b不共面,直线ca=M,直线bc=N.又a平面=A,b平面=B,c平面=C,求证A,B,C三点不共线.
证明:假设A,B,C三点共线,设都在直线l上.
∵A,B,C,l,cl=C,
c与l可确定一个平面.
∵ca=M,M.又A,
a,同理可证b.
直线a,b共面,
这与已知a与b不共面矛盾,
A,B,C三点不共线.
12.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
已知:ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.
证明:法一:∵ACAB=A,
直线AB、AC确定一个平面.
∵BAB,CAC,B,C.
故BC.
因此直线AB、BC、CA都在平面内,
AB、BC、AC共面.
法二:∵A、B、C三点不在一条直线上,
过A、B、C三点可以确定平面.
∵A,B,AB,
同理,BC,AC,
AB、BC、AC共面.
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