高中数学不等式检测考试题(附答案)
第3章 不等式 综合检测
(时间:120分钟;满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中正确的是()
A.a>bac2>bc2 B.a>ba2>b2
C.a>ba3>b3 D.a2>b2a>b
解析:选C.A中,当c=0时,ac2=bc2,所以A不正确;B中,当a=0>b=-1时,a2=0<b2=1,所以B不正确;D中,当(-2)2>(-1)2时,-2<-1,所以D不正确.很明显C正确.
2.设M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),aR,则有()
A.M>N B.MN
C.M<N D.MN
解析:选B.M-N=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)
=a20.
3.当|x|1时,函数y=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是()
A.a-13 B.a-1
C.-1-13 D.-1-13
解析:选C.y=ax+2a+1可以看成关于x的一次函数,在[-1,1]上具有单调性,因此只需当x=-1和x=1时的函数值互为相反数,即(a+2a+1)(-a+2a+1)0,解这个关于a的一元二次不等式,得-1-13.
4.二次不等式ax2+bx+10的解集为{x|-113},则ab的值为()
A.-6 B.6
C.-5 D.5
解析:选B.由题意a0,-1,13是方程ax2+bx+1=0的两根,
-1+13=-ba-113=1a,
a=-3,b=-2.ab=6.
5.已知全集U=R,且A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(UA)B等于()
A.[-1,4) B.(2,3)
C.(2,3] D.(-1,4)
解析:选C.A={x|x>3或x<-1},B={x|2<x<4},
UA={x|-13},则(UA)B={x|2<x3}.
6.函数y=3xx2+x+1(x<0)的值域是()
A.(-1,0) B.[-3,0)
C.[-3,1] D.(-,0)
解析:选B.y=3x+1x+1,∵x<0,
-x>0且y<0,
x+1x=-(-x+1-x)-2,
y=3x+1x+1-3,当且仅当x=-1时等号成立.
7.当x0时,不等式(5-a)x2-6x+a+50恒成立,则实数a的取值范围是()
A.(-,4) B.(-4,4)
C.[10,+) D.(1,10]
解析:选B.用特殊值检验法,取a=10,则不等式为-5x2-6x+150,即5x2+6x-150,当x0时,不恒成立,排除C,D,取a=0,不等式为5x2-6x+50,当x0时,恒成立,排除A.故选B.
8.若0<<<4,sin +cos =a,sin +cos =b,则()
A.a<b B.a>b
C.ab<1 D.ab>2
解析:选A.∵0<<<4,
0<2<2<2且0<sin 2<sin 2,
a2=(sin+cos)2=1+sin2,
b2=(sin+cos)2=1+sin2,
a2-b2=(1+sin2)-(1+sin2),
=sin2-sin2<0,
a2<b2.
又∵a=sin+cos>0,b=sin+cos>0,
a<b.
9.(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面区域为()
解析:选B.用原点检验,求下面的两个不等式组表示的区域的并集:
x+2y+1>0x-y+4<0或x+2y+1<0x-y+4>0.
10.若a0,b0,则不等式-ba等价于()
A.-1b0或01a
B.-1a1b
C.x-1a或x1b
D.x-1b或x1a
解析:选D.按照解分式不等式的同解变形,
得-ba1x+b01x-a0
1+bxx01-axx0
xbx+10x1-ax0
0或x-1b,x1a或x0
-1b或x1a.
法二:数形结合法,画出函数f(x)=1x的图象,函数f(x)=1x的图象夹在两条直线y=-b,y=a之间的部分的x的范围即为所求.
11.对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是()
A.[-2,+) B.(-,-2)
C.[-2,2] D.[0,+)
解析:选A.当x=0时,对任意实数a,不等式都成立;当x0时,a-x2+1|x|=-(|x|+1|x|)=f(x),问题等价于af(x)max,∵f(x)max=-2,故a-2.
12.函数y=f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧,如图所示.则不等式f(x)f(-x)+x的解集为()
A.-1,-255(0,1]
B.[-1,0)0,255
C.-1,-2550,255
D.-1,-255255,1
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,把答案填在题中横线上)
13.设点P(x,y)在函数y=4-2x的图象上运动,则9x+3y的最小值为________.
解析:因为点P(x,y)在直线y=4-2x上运动,所以2x+y=4,9x+3y=32x+3y232x3y=232x+y=234=18.当且仅当2x=y,即x=1,y=2时,等号成立.所以当x=1,y=2时,9x+3y取得最小值18.
答案:18
14.已知不等式axx-1<1的解集为{x|x<1或x>2},则a=________.
解析:原不等式可化为a-1x+1x-1<0(x-1)[(a-1)x+1]<0,
∵此不等式的解集为{x|x<1或x>2},
a-1<0且-1a-1=2,a=12.
答案:12
15.设实数x,y满足x-y-20,x+2y-50,y-20,则u=yx-xy的取值范围是________.
解析:作出x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是[13,2],即yx[13,2],故令t=yx,则u=t-1t,根据函数u=t-1t在t[13,2]上单调递增得u[-83,32].
答案:[-83,32]
16.已知点A(53,5),过点A的直线l:x=my+n(n0),若可行域xmy+nx-3y0的外接圆的直径为20,则实数n的值是________.
解析:由题意可知,可行域是由三条直线x=my+n(n0)、x-3y=0和y=0所围成的封闭三角形(包括边界),如图中阴影部分.又知直线x-3y=0过点A(53,5),
所以|OA|=10,外接圆直径2R=20.
设直线l的倾斜角为,
则由正弦定理,得10sin-=20,
所以sin=12,tan=33.
由tan=1m,得1m=33,即m=3.
将点A(53,5)代入直线x=3y+n,
得53=35+n,解得n=103,n=0(舍去).
答案:103
三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知a0,b0,且ab,比较a2b+b2a与a+b的大小.
解:∵(a2b+b2a)-(a+b)=a2b-b+b2a-a
=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)(1b-1a)
=(a2-b2)a-bab=a-b2a+bab,
又∵a0,b0,ab,(a-b)20,a+b0,ab0,
(a2b+b2a)-(a+b)0,a2b+b2aa+b.
18.求z=3x-2y的最大值和最小值,式中的x,y满足条件4x-5y+210,x-3y+70,2x+y-70.
解:作出可行域如图
作一组与3x-2y=0平行的直线l,当l过C时,z最大,l过B时,z最小.
又4x-5y+21=0x-3y+7=0,得B(-4,1);
x-3y+7=02x+y-7=0,得C(2,3).
所以zmax=32-23=0,zmin=3(-4)-21=-14.
19.若不等式x2+ax+10对于一切x(0,12]成立,求a的取值范围.
解:法一:若-a212,即a-1时,则f(x)在(0,12]上是减函数,应有f(12)-52-1;
若-a20,即a0时,则f(x)在[0,12]上是增函数,应有f(0)=10恒成立,故a0;
若0-a212,即-10,则应有f(-a2)=a24-a22+1=1-a240恒成立,故-10;
综上,有a-52.
法二:原不等式x2+ax+10可化为a-(x+1x),
设g(x)=-(x+1x),因为g(x)在(0,12]内单调递增,所以g(x)在(0,12]内的最大值是g(12)=-52,要使不等式恒成立当且仅当a-52.
20.(2011年福州高二检测)某化工厂生产甲、乙两种肥料,生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元,需要的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元,需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨.现库存有磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种肥料.问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元.
目标函数为z=x+0.5y,
约束条件为:4x+y1018x+15y0,x0,yN,
可行域如图中阴影部分的整点.
当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时,截距2z最大,即z最大.
解方程组4x+y=1018x+15y=66得:M点坐标为(2,2).
所以zmax=x+0.5y=3.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮,能够产生最大利润,最大利润为3万元.
21.整改校园内一块长为15 m,宽为11 m的长方形草地(如图A),将长减少1 m,宽增加1 m(如图B).问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少x m,宽增加x m(x0),试研究以下问题:
x取什么值时,草地面积减少?
x取什么值时,草地面积增加?
解:原草地面积S1=1115=165(m2),
整改后草地面积为:S=1412=168(m2),
∵SS1,整改后草地面积增加了.
研究:长减少x m,宽增加x m后,草地面积为:
S2=(11+x)(15-x),
∵S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x,
当04时,x2-4x0,S1S2;
当x=4时,x2-4x=0,S1=S2.
当x4时,x2-4x0,S1S2.
综上所述,当04时,草地面积增加,
当x=4时,草地面积不变,
当x4时,草地面积减少.
22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)满足:对任意实数x,都有f(x)x,且当x(1,3)时,有f(x)18(x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式;
(3)设g(x)=f(x)-m2x,x[0,+),若g(x)图象上的点都位于直线y=14的上方,求实数m的取值范围.
解:(1)证明:由条件知:
f(2)=4a+2b+c2恒成立.
又因取x=2时,f(2)=4a+2b+c18(2+2)2=2恒成立,f(2)=2.
(2)因4a+2b+c=24a-2b+c=0,
4a+c=2b=1.
b=12,c=1-4a.
又f(x)x恒成立,即ax2+(b-1)x+c0恒成立.
a0.=(12-1)2-4a(1-4a)0,
解出:a=18,b=12,c=12.
f(x)=18x2+12x+12.
(3)由分析条件知道,只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线y=m2x+14上方即可,也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置,
于是:y=18x2+12x+12,y=m2x+14.
利用相切时=0,解出m=1+22,
m(-,1+22).
另解:g(x)=18x2+(12-m2)x+1214在x[0,+)必须恒成立.
即x2+4(1-m)x+20在x[0,+)恒成立,
①0,即[4(1-m)]2-80.
解得:1-221+22.
②0,-21-m0,f00.解得:m1-22,
综上m(-,1+22).
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