高中数学正态分布测试题及答案
高二数学随机变量的数字特征;正态分布人教实验版(B)
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
2.3 随机变量的数字特征
2.4 正态分布
二. 教学目的
1、能够求出随机变量的分布列,并利用分布列求出随机变量的均值和方差,能解决简单实际问题。
2、掌握正态分布的性质,能够计算有关概率值;了解假设检验的思想。
三. 教学重点、难点
利用分布列求出随机变量的均值和方差;正态分布的性质。
四. 知识分析
1、离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
①若X为随机变量,Y = aX + b(其中 a , b 为常数),则Y也是随机变量,且有E(aX + b)= aE(X) + b
②若 X ~ B ( n , p ) ,则 E(X) = np
③期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均。
④E(X)是一个实数,由X的分布列惟一确定.即作为随机变量X是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态.
⑤ + … 直接给出了E(X)的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.
2、离散型随机变量的方差
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则[xi-E(X)]2描述了xi (i = 1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而
为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值E(X)的偏离程度,我们称D(X)为随机变量X的方差,其算术平均根 为随机变量X 的标准差。记作 .
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离均值的平均程度越小。
设X 为离散型随机变量,则
(1)D(aX + b)=a2D(X)
(2)若X 服从二点分布,则 D(X) = p (1-p)
(3)若 X~ B(n,p),则D(X) = np(1-p)
3、正态分布
我们称 ,xR(其中 是参数,且 )为正态变量X的概率密度函数,其图象叫做正态分布密度曲线,简称正态曲线。期望为 、标准差为 的正态分布常记为 。若X~ ,则X的均值与方差分别为: 。参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数。 是衡量随机变量总体波动大小的特征数.可以用样本标准差去估计.
正态曲线的性质:
(1)曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线 对称;
(3)曲线在 处达到峰值 ;
(4)当 一定时,曲线随着 的变化沿 x 轴平移;
(5)当 一定时,曲线形状由 确定, 越小,曲线越瘦高。
当 时的正态分布叫做标准正态分布。
一般来说,正态变量的取值在 内的概率是68.3%,在 内的概率是95.4%,在 内的概率是99.7%。
【典型例题】
例1、某运动员投篮命中率p = 0.6
(1)求投篮一次时命中次数X的均值和方差;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值与方差。
分析:(1)为两点分布的均值和方差(2)为二项分布的均值和方差。可利用公式求解。
解析:(1)投篮一次时命中次数X的分布列为:
X 0 1
P 0.4 0.6
则
(2)由题意,重复5次投篮时,命中次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6)
于是,有
点评:(1)投篮一次有两个结果:命中与未命中,因此X服从两点分布,用两点分布的均值及方差公式;(2)投篮、射击、抽样(大量)等问题,都是n次独立重复试验,其随机变量Y~B(n , p),利用二项分布的均值、方差公式即可。
例2、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:
甲保护区:
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区:
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定两个保护区的管理水平。
解析:甲保护区的违规次数X的数学期望和方差为
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为
因为 , 所以两个保护区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散.
点评:解决实际问题,要充分理解随机变量在实际问题中表示的意义,然后利用均值和方差的实际意义解决.
例3、若随机事件A在1次试验中发生的概率为P(01),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.
(l)求方差D(X)的最大值;
(2)求 的最大值。
分析:本题是最值问题,需要先将D(X),及 表示出来,利用函数知识解决.
解析:随机变量X的所有可能取值为 0 ,1 ,并且有P(X= l)= p , P(X = 0)= l-p.
从而
(i)
当 时,D(X)取得最大值,最大值为 。
(2)
,
当且仅当 ,即 时,取“=”。
因此,当 时, 取得最大值 。
点评:本题将方差知识与函数联系起来,因此在求解过程中可以利用函数的性质及使用研究函数的方法.
例4、(2003年辽宁20,天津理20) A 、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A 1、A2、A3 ,B 队队员是 B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得0分.设 A 队、B 队最后所得总分分别为 、
(I)求 的概率分布列。
(II)求 。
分析:此题中的 、 不服从特殊分布,用定义求均值。
解析:(I) 、 的可能取值分别为3,2,1,0
P( =3)
P( =2) ,
P( =1)
P( =0)
根据题意知 ,所以
(II)
因为 ,所以
点评:本题中第(I)问是第(Ⅱ)问的基础,在利用定义求均值时,必先求分布列。
例5、已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.05 2),质量检验员随机抽查了10个零件,测量得到它们的尺寸如下:
27.34,27.49,27.55,27.23,27.40,27.46,27.38,27.58,27.54,27.68
请你根据正态分布的小概率事件,帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的。
分析:利用正态变量在区间 内的取值的概率为99.7%来判断。
解析:根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的思想,我们对落在区间(27.45-30.05,27.45 +30.05)之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设,有两个尺寸为27.23和27.68的零件,不符合落在区间(27.45-30.05,27.45+30.05)内这一条件,判断它们就是非正常状态下生产的。
点评:本题是正态分布应用中假设检验的一个实例,依据的准则是正态总体在区间 外的取值的概率仅有0.3%来判断个别零件是在非正常状态下生产的。
【模拟试题】
一、选择题(每小题5分,共60分)
1、甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是 ,乙解决这个问题的概率是 ,那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )
A、 B、
C、 D、
2、如图所示,1、2、3表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7,那么此系统的可靠性是( )
A、0.504 B、0.994 C、0.496 D、0.06
3、甲、乙两人同时独立解答一道数学题,甲解出的概率为0.4,乙解出的概率为0.5,则该题能被解出的概率为( )
A、0.9 B、0.2 C、0.7 D、0.1
4、两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中的概率P(A)=0.8,乙射中的概率P(B)=0.9,则目标被击中的概率为( )
A、1.7 B、1 C、0.72 D、0.98
5、一整数等可能在1,2,…,10中取值,以X记除得尽这一整数的正整数的个数,那么E(X)等于( )
A、2.6 B、2.5 C、2.7 D、2.8
6、从5个数1,2,3,4,5中任取3个数 ,X表示 中最大的一个,则X的分布列为( )
A、
X 1 2 3 4 5
P
B、
X 3 4 5
P
C、
X 1 2 3 4 5
P 0 0
D、
X 3 4 5
P
7、设随机变量X~B(n,P),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( )
A、n=8,P=0.2 B、n=4,P=0.4
C、n=5,P=0.32 D、n=7,P=0.45
8、口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X表示取出的球的最大号码,则E(X)的值是( )
A、4 B、4.5 C、4.75 D、5
9、设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是( )
A、 B、 C、 D、
10、一次测验中共有4个选择题,每个选择题均有4个备选答案,其中只有一个答案是正确的,某生随机地就每小题各选一个答案,则其恰好选中3个正确答案的概率为( )
A、 B、 C、 D、
11、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为X、Y,则 的概率为( )
A、 B、 C、 D、
12、设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 的图象,且 ,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )
A、10与8 B、10与2 C、8与10 D、2与10
二、填空题(每小题4分,共16分)
13、若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________。
14、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是__________(用数字作答)
15、抛掷两枚骰子,当至少有一个1点或一个2点出现时,就说这次试验成功,否则称试验失败,则在20次试验中成功次数X的期望是__________。
16、四个人打桥牌,则你手中有5张黑桃,而另8张黑桃全在你的同伴手中的概率__________。
三、解答题(共74分)
17、(12分)一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色,每种13张,共52张,从这一副洗好的牌中任取4张,求4张中至少有3张黑桃的概率。
18、(12分)从1,2,…,n这n个数中任取两个,求其中一个小于k,另一个大于k的概率( )。
19、(12分)对某种药物的疗效进行研究,假定药物对某种疾病的治愈率 ,现在10个患此病的病人中同时服用此药,求其中至少有6个病人治愈的概率 。
20、(12分)某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;
(2)不够7环的概率。
21、(13分)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ,投中得1分,投不中得0分。
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和X的数学期望;
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少一次命中的概率。
22、(13分)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5。若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。
(1)求甲坑不需要补种的概率;
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率;
(3)求有坑需要补种的概率。(精确到0.001)
【试题答案】
一、选择题
1、D 2、B 3、C 4、D 5、C 6、B
7、A 8、B 9、D 10、C 11、C 12、B
二、填空题
13、 14、1.2 15、 16、
三、解答题
17、解析:至少有3张黑桃包括两种情况:“恰好有3张黑桃”与“4张全是黑桃”,用这两种情况的取法总数除以52张牌中任取4张牌的取法总数即可。
从52张牌中任取4张,有 种取法,即 ,4张牌中至少有3张黑桃的取法有 。因此,取4张牌中至少有3张黑桃的概率是 。
18、解:
19、解:假定病人服用该药或者治愈(事件A)或者没有治愈(事件 ),
由题意,
至少有6人治愈可分为10人中6人愈,10人中7人愈,10人中8人愈,10人中9人愈,10人全愈五种情况:
0.97
答:至少有6人治愈的概率为0.97。
20、解析:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件。“射中10环或7环”的事件为A+B,故P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49。
射中10环或7环的概率为0.49。
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接入手,可考虑从反面入手,不够7环的反面是大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于此两事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件,可用对立事件的方法处理。
设“不够7环”为事件E,则事件 为“射中7环或8环或9环或10环”,由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等是彼此互斥的事件。
从而
射不够7环的概率为0.03。
21、解:(1)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则
,
, 。
甲、乙两人得分之和X的可能取值为0、1、2,
则X的概率分布为:
X 0 1 2
P
答:每人在罚球线各投球一次,两人得分之和X的数学期望为
(2)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为
甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
。
答:甲、乙两人在罚球线各投球两次,至少有一次命中的概率为 。
22、解:(1)因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为 ,所以甲坑不需要补种的概率为 。
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 。
(3)解法一:因为3个坑都不需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为
解法二:3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
,
恰有2个坑需要补种的概率为
3个坑都需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为 。
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