高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案
高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
函数的单调性与函数的奇偶性
二. 教学目标:
(1)理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题。
(2)掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题。
三. 教学重点:
函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。
四. 教学难点:
函数单调性与奇偶性的运用。
五. 知识归纳:
(一)概念
1. 函数单调性的定义:对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ,⑴若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是增函数;⑵若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是减函数.
2. 函数奇偶性的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
3. 奇偶函数的性质:
(1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图象关于 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
4. 为偶函数 .
5. 若奇函数 的定义域包含 ,则 .
(二)主要方法:
1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
2. 判断函数的单调性的方法有:
(1)用定义;
(2)用已知函数的单调性;
(3)利用函数的导数.
3. 注意函数单调性的应用;
4. 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响;
5. 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。
7. 设 , 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 奇=偶偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇.
【典型例题】
例1. 判断下列各函数的奇偶性:
(1) ;
(2) ;
(3) .
解:(1)由 ,得定义域为 ,关于原点不对称
为非奇非偶函数。
(2)由 得定义域为
∵
为偶函数
(3)当 时, ,则 ,
当 时, ,则 ,
综上所述,对任意的 ,都有 , 为奇函数.
例2. (1)求函数 的单调区间;
(2)已知 若 试确定 的单调区间和单调性.
解:(1)单调增区间为: 单调减区间为 ,
(2) , ,
令 ,得 或 ,令 , 或
单调增区间为 ;单调减区间为
例3. 已知函数 对一切 ,都有
(1)求证: 是奇函数;
(2)若 ,用 表示 。
解:(1)显然 的定义域是 ,它关于原点对称。在 中,
令 ,得 ,令 ,得
,
,即
是奇函数.
(2)由 , 及 是奇函数,
得 。
例4. (1)已知 是 上的奇函数,且当 时, ,则 的解析式为 。
(2)(《高考 计划》考点3“智能训练第4题”)已知 是偶函数, ,当 时, 为增函数,若 ,且 ,则 ( )
. .
. .
例5. 设 , 是 上的偶函数。
(1)求 的值;
(2)证明 在 上为增函数。
解:(1)依题意,对一切 ,有
即
对一切 成立,则
∵ , 。
(2)设 ,则
,
由
得 ,
即 , 在 上为增函数。
例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数,对定义域内的任意 都有 ,且当 时 。
(1)求证: 是偶函数;
(2) 在 上是增函数;
(3)解不等式 。
解:(1)令 ,得
,令 ,得 ,
是偶函数。
(2)设
则
∵ , ,
即 ,
在 上是增函数。
(3) ,
∵ 是偶函数,不等式 可化为
又∵函数在 上是增函数
解得: ,
即不等式的解集为 。
例7. 函数 在 上是增函数,求 的取值范围。
分析:由函数 在 上是增函数可以得到两个信息:
①对任意的 总有 ;
②当 时, 恒成立。
解:∵函数 在 上是增函数
对任意的 有
即
得
即
∵ , ,
∵ ,要使 恒成立,只要 ;
又∵函数 在 上是增函数, ,
即 ,综上 的取值范围为 .
另解:(用导数求解)令 ,函数 在 上是增函数
在 上是增函数, ,
,且 在 上恒成立,得 。
例8. 设 为实数,函数 , 。
(1)讨论 的奇偶性;
(2)求 的最小值。
解:(1)当 时, ,此时 为偶函数;
当 时, ,
此时函数 既不是奇函数也不是偶函数.
(2)①当 时,函数 ,
若 ,则函数 在 上单调递减
函数 在 上的最小值为 ;
若 ,函数 在 上的最小值为 ,且 .
②当 时,函数 ,
若 ,则函数 在 上的最小值为 ,且 ;
若 ,则函数 在 上单调递增
函数 在 上的最小值为
综上,当 时,函数 的最小值是 ,当 时,函数 的最小值是 ,当 ,函数 的最小值是 。
【模拟试题】
1. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR),其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 函数F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 非奇非偶函数
3. 已知函数f(x)=x2+lg(x+ ),若f(a)=M,则f(-a)等于( )
A. M-2a2 B. 2a2-M C. 2M-a2 D. a2-2M
4. 若对正常数m和任意实数x,等式 成立,则下列说法正确的是( )
A. 函数 是周期函数,最小正周期为2m
B. 函数 是奇函数,但不是周期函数
C. 函数 是周期函数,最小正周期为4 m
D. 函数 是偶函数,但不是周期函数
5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在 上递减,那么一定有( )
A. B.
C. D.
6. 已知y=f(x)是偶函数,且在 上是减函数,则f(1-x2)是增函数的区间是( )
A. B. C. D.
7. 函数y=loga|x+1|在(-1,0)上单调递减,则y在(-,-1)上是( )
A. 由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减
C. 单调递减且恒为正数 D. 时增时减
8. 设函数f(x)= (a0),求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+)上是单调函数。
9. 函数y= 的递减区间是
10. 函数y=lncos( )的递减区间是
11. 函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是
12. 设奇函数f(x)在[0,+)上是增函数,若对于任意实数x,不等式f(kx)+f(x-x2-2)0恒成立,求实数k的取值范围。
13. 已知函数 是定义在 上的周期函数,周期 ,函数 是奇函数 又知 在 上是一次函数,在 上是二次函数,且在 时函数取得最小值 。
①证明: ;
②求 的解析式;
③求 在 上的解析式。
14. 甲乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元。
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
【试题答案】
1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A
8. 当a1时,f(x)递减;
当01时,存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。
9. (-,-3)
10. [6kp-3p/4,6kp+3p/4] kZ
11. (1,2)
12. -2 -12 -1
13. 解:∵ 是以 为周期的周期函数
,
又∵ 是奇函数, ,
②当 时,由题意可设 ,
由 得 , ,
③∵ 是奇函数, ,
又知 在 上是一次函数
可设 ,而 ,
,当 时, ,
从而当 时, ,故 时,
当 时,有 ,
当 时, ,
14. 解:(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为 全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(2)依题意S,a,b,v都是正数,故有
由于v v >0,v -v >0,并且
又S>0,所以 即
则当v=c时,y取最小值
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