朝阳区2015九年级上学期数学期中综合试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.一元二次方程x2?2x=0的解为

A．x ??2 B．x1 ??0，x2 ??2 C．x1 ??0，x2 ???2 D．x1 ??1，x2 ??2

2. 抛物线 的顶点坐标是

A．（1，2） B．（1，??） C．（?1，??） D．（?1，??）

3.下列图形是中心对称图形的是

4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为

A．35° B． 55°

C．65° D． 70°

5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点

均在格点上，则tan∠ABC的值为

A． B．

C． D．1

6.下列事件是随机事件的是

A．明天太阳从东方升起

B．任意画一个三角形，其内角和是360°

C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰

D．射击运动员射击一次，命中靶心

7.一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，

则所列方程正确的是

A．x2?3x?25=0 B．x2?3x?25=0

C．x2+3x?25=0 D．x2?3x?50=0

8.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与

点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则

下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A B C D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.如图，A是反比例函数 图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于

y轴，垂足为C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为 ．

10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的

点数大3的概率是 ．

11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个

函数 ，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为 ．

12.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，将扇形OAB绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜180）后得到扇形O′AB′ ，当点O在弧AB'上时，n为 ，图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算： .

14. 用配方法解方程： x2-4x-1=0．

15. 如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．

16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为圆心的⊙A交 x轴于点B，C，BC=8，

求⊙A的半径．

17. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，

设点E的对应点为F．

（1）画出旋转后的三角形．

（2）在（1）的条件下，

①求EF的长；

②求点E经过的路径弧EF的长．

18．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时

5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船

同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，

求乙船的航行距离( ， ，结果保留整数)．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.已知关于x的一元二次方程mx2?(m?1)x?1=0．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.

20. 如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的 ,

请直接写出点P的坐标.

21. 随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的

生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，

可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日

的各项支出共2100元．

(1) 若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元；

(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？

22.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线

与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC= ，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23. 已知二次函数y=kx2?(k?3)x?3在x=0和x=4时的函数值相等．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y ＜0时，自变量x的取值范围；

（3）已知关于x的一元二次方程 ，当?1≤m≤3 时，判断此方程根的情况．

24. △ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= α (0°＜α ≤90°) ，点F，G，P分别

是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．

(1)如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；

(2)如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；

(3)连接FG，若AB=5， AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，

FG的长为 （用含α的式子表示）．

25. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线

y＝ax2＋bx－ 经过点A和点C (4,0) ．

（1）求该抛物线的表达式．

（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y＝2x＋2交于点E，以DE为直径

画⊙M，

①求圆心M的坐标；

②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．

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