海淀区2015九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)
海淀区2015九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆,截止到今年初馆藏图书达3119万册,其中古籍善本约有2000000册.2000000用科学记数法可以表示为
A. B. C. D.
2.若二次根式 有意义,则 的取值范围是
A. B. C. D.
3.我国古代把一昼夜划分成十二个时段,每一个时段叫一个时辰,古时与今时的对应关系(部分)如下表所示.天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测,每人两小时,观测的先后顺序随机抽签确定,小明在子时观测的概率为
古时 子时 丑时 寅时 卯时
今时 23:0 0~1:00 1:00~3:00 3:00~5:00 5:00~7:00
A. B. C. D.
4.如图,小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分(虚线部分),得到了一个新多边形.若新多边形的内角和为540°,则对应的是下列哪个图形
A B C D
5.如图,根据计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立
A. B.
C. D.
6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛,他们每天训练后投10个球测试,记录命中的个数,五天后将记录的数据绘制成折线统计图,如右图所示.则下列对甲、乙数据描述正确的是
A.甲的方差比乙的方差小
B.甲的方差比乙的方差大
C.甲的平均数比乙的平均数小
D.甲的平均数比乙的平均数大
7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时,教科书介绍如下:
对于“想一想”中的问题,下列回答正确的是:
A.根据“边边边”可知,△ ≌△ ,所以∠ =∠
B.根据“边角边”可知,△ ≌△ ,所以∠ =∠
C.根据“角边角”可知,△ ≌△ ,所以∠ =∠
D.根据“角角边”可知,△ ≌△ ,所以∠ =∠
8.小明家端午节聚会,需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动,即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个,按此促销方法,小明至少应付钱
A.45元B.50元 C.55元 D.60元
9.如图,点A,B是棱长为1的正方体的两个顶点,将正方体按图中所示展开,则在展开图中A,B两点间的距离为
A. B.
C. D.
10.如右图所示,点Q表示蜜蜂,它从点P出发,按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行,此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形,在直线l上的点O处(点O与点P不重合)利用仪器测量了∠POQ的大小.设蜜蜂飞行时间为x,∠POQ的大小为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是
AB C D
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
11. 将函数y=x2 ?2x + 3写成 的形式为.
12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A(2,5),写出一个满足条件的B点的坐标是.
13. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=100°,AC平分∠BAD,则∠BAC的度数为.
14.如图,在一次测绘活动中,某同学站在点A观测放置于B,C两处的标志物,数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处,点C在点A南偏西15°方向20米处,则点B与点C的距离为米.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,以B为圆心,
BA为半径画弧交CB的延长线与点D,则 的长为.
16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏,规则是:在正方形棋盘中,由黑方先行,白方后行,轮流弈子,下在棋盘横线与竖线的交叉点上,直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜.如 图,这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图.观察棋盘,以点O为原点,在棋盘上建立平面直角坐标系,将每个棋子看成一个点,若黑子A的坐标为
(7,5),则白子B的坐标为______________;为了不让白方获胜,此时黑方应该下在坐标为______________的位置处.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
17.计算: .
18.解不等式 ,并把它的解集在数轴上表示出来.
19.如图,已知∠BAC=∠BCA,∠BAE=∠BCD=90°,BE=BD.
求证:∠E=∠D.
20.已知 ,求代数式 的值.
21.列方程或方程组解应用题:
小明坚持长跑健身.他从家匀速跑步到学校,通常需30分钟.某周日,小李与同学相约早上八点学校见,他七点半从家跑步出发,平均每分钟比平时快了40米,结果七点五十五分就到达了学校,求小明家到学校的距离.
22.已知关于 的方程 有两个实数根.
(1)求实数 的取值范围;
(2)若a为正整数,求方程的根.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
23.已知, 中,D是BC上的一点,且∠DAC=30°,过点D作ED⊥AD交AC于点E,
, .
(1)求证:AD=CD;
(2)若tanB=3,求线段 的长.
24.小明和小腾大学毕业后准备自主创业,开一个小店卖腊汁肉夹馍.为了使产品更好地适合大众口味,他们决定进行一次抽样调查.在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝,并请每个人填写了一份调查问卷,以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中.调查问卷如下所示:
经过调查,他们得到了如下36个数据:
BCBADACDB
CBCDCDCEC
CABEADECB
CBCEDEDDC
(1)小明用表格整理了上面的调查数据,写出表格中m和n的值;
(2)小腾根据调查数据画出了条形统计图,请你补全这个统计图;
(3)根据所调查的数据,你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗?.(填“适中”或者“不适中”)
25.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E在⊙O上, CE=CA,
AB,CE的延长线交于点F.
(1) 求证:CE与⊙O相切;
(2) 若⊙O的半径为3,EF=4,求BD的长.
26.阅读下面材料:小明研究了这样一个问题:求使得等式 成立的x的个数.小明发现,先将该等式转化为 ,再通过研究函数 的图象与函数 的图象(如图)的交点,使问题得到解决.
请回答:
(1) 当k=1时,使得原等式成立的x的个数为_______;
(2) 当0<k<1时,使得原等式成立的x的个数为_______;
(3) 当k>1时,使得原等式成立的x的个数为_______.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
关于x的不等式 只有一个整数解,求 的取值范围.
五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线 与 轴交于点A(0,3),与 轴交于点B,C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的表达式及点B,C的坐标;
(2)抛物线的对称轴与 轴交于点D,若直线 经过点D和点
E ,求直线DE的表达式;
(3)在(2)的条件下,已知点P( ,0),过点P作垂直于 轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在 轴下方,直接写出 的取值范围.
28.如图1,在 中,AB=AC,∠ABC = ,D是BC边上一点,以AD为边作 ,使AE=AD,
+ =180°.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含 的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;
②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.
29. 如图1,在平面直角坐标系 内,已知点 , , , ,记线段 为 ,线段 为 ,点 是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点 的直线l与 , 都有公共点,则称点 是 联络点.
例如,点 是 联络点.
(1)以下各点中,__________________是 联络点(填出所有正确的序号);
① ;② ;③ .
(2)直接在图1中画出所有 联络点所组成的区域,用阴影部分表示;
(3)已知点M在y轴上,以M为圆心,r为半径画圆,⊙M上只有一个点为 联络点,
①若 ,求点M的纵坐标;
②求r的取值范围.
海淀区2015九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分参考
一、 选择题(本题共30分,每小题3分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A A A C B D
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
题号 11 12 13 14 15 16
答案
(1,10)
注:答案不唯一 40o
(5,1);(1分)
(3,7)或(7,3)
(2分)答对1个给1分
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
17.(本小题满分5分)
解:原式 ……………………..……………………………………………………...4分
.……………………………………………………………………………………...5分
18. (本小题满分5分)
解法一:去括号,得 .…………………………………………………………………..1分
移项,得 .…………………………………………………………………..2分
合并,得 .……………………………………………………………………3分
系数化为1,得 .…………………………………………………………...……4分
不等式的解集在数轴上表 示如下:
. …………………………………………………………5分
解法二:去分母,得 .…………………………………………………………………1分
移项,得 .……………………………………………………………………2分
合并,得 .……………………………………………………… ………..3分
系数化为1,得 .…………………………………………………………………..4分
不等式的解集在数轴上表示如下:
. ……… …………………………………………………5分
19.(本小题满分5分)
证明:在△ABC中
∵∠BAC=∠BCA,
∴AB=CB.……………………………………………1分
∵∠BAE=∠BCD=90°,
在Rt△EAB和R t△DCB中,
∴Rt△EAB≌Rt△DCB.……………………………………4分
∴∠E=∠D.…………………………………………5分
20.(本小题满分5分)
解:原式 ……………………………………………………………………….1分
……………………………………………..………………………………2分
.………………………………………………………………………………3分
∵ ,
∴ .………………………………………………………………………………………4分
∴原式 .………………………………………………………………………………..5分
21. (本小题满分5分)
解:设小明家到学校的距离为x米.……………………………………………………………………..1分
由题意,得 .………………………………………………………………………..3分
解得 .……………………………………………………………………..4分
答:小明家到学校的距离为6000米.………………………………………………………………….5分
22. (本小题满分5分)
解:(1)∵关于 的方程 有两个实数根,
∴ .……………………………………………………………………..1分
解得 .……………………………………………………………………………………2分
∴ 的取值范围为 .
(2)∵ ,且a为正整数,
∴ .…………………………………………………………………………………………3分
∴方程 可化为 .
∴此方程的根为 .………………………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
23. (本小题满分5分)
(1)证明: ∵ED⊥AD,
∴∠ADE=90°.
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AE=4,
∴ , .………………………………………………………………1分
∵ ,
∴AD=DC.………………….…………………………………………………………………2分
(2)解:过点A作AF⊥BC于点F,如图.
∴∠AFC=∠AFB=90°.
∵AE=4,EC=2,
∴AC=6.
在Rt△AFC中,∠AFC =90°,∠C=30°,
∴ …………………………………………………………………………3分
在Rt△AFB中,∠AFB=90°,tanB=3,
∴ .……….………………………………………………………………………4分
∴ .……….……………………………………………………………5分
24. (本小题满分5分)
(1) ; ;………………………………………………………………………………...2分
(2)
………………………………………………………………...4分
(3)适中.………………………………………………………………………………….5分
25.(本小题满分5分)
证明:连接OE,OC.
在△OEC与△OAC中,
∴△OEC≌△OAC.………………………………………………………………………………..1分
∴∠OEC=∠OAC.
∵∠OAC=90°,
∴∠OEC=90°.
∴OE⊥CF于E.
∴CF与⊙O相切.………………………………………………………………………………...2分
(2)解:连接AD.
∵∠OEC=90°,
∴∠OEF=90°.
∵⊙O的半径为3,
∴OE=OA=3.
在Rt△OEF中,∠OEF=90°,OE= 3,EF= 4,
∴ ,………………………………………………………………………3分
.
在Rt△FAC中,∠FAC=90°, ,
∴ .…………………… ……………………………………………………4分
∵AB为直径,
∴AB=6=AC,∠ADB=90°.
∴BD= .
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
∴ .
∴BD= .…………………………………… ……………………………………………….5分
26. (本小题满分5分)
解:(1)当k=1时,使得原等式成立的x的个数为 1 ;…………………………………….………1分
(2)当0<k<1时,使得原等式成立的x的个数为 2 ;…………………………………………2分
(3)当k >1时,使得原等式成立的x的个数为 1 .…..…………………………………………3分
解决问题:将不等式 转化为 ,
研究函数 与函数 的图象的交点.
∵函数 的图象经过点A(1,4),B(2,2),
函数 的图象经过点C(1,1),D(2,4),
若函数 经过点A(1,4),则 ,……………………………………………………4分
结合图象可知,当 时,关于x的不等式 只有一个整数解.
也就是当 时,关于x的不等式 只有一个整数解. ……………………5分
五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
27. (本小题满分7分)
解:(1)∵抛物线 与 轴交于点A(0,3),
∴ .
∴ .
∴抛物线的表达式为 .…………………………………………………………………1分
∵抛物线 与 轴交于点B,C,
∴令 ,即 .
解得 , .
又∵点B在点C左侧,
∴点B的坐标为 ,点C的坐标为 .…………………………………………………...……3分
(2)∵ ,
∴抛物线的对称轴为直线 .
∵抛物线的对称轴与 轴交于点D,
∴点D的坐标为 .…………………………………………………………………………...………4分
∵直线 经过点D 和点E ,
∴
解得
∴直线DE的表达式为 . ………………………………………………………………………5分
(3) 或 ……………………………………………………………………………………………7分
28.(本小题满分7分)
(1)∠ADE = .…………………………………………………………………………………….…1分
(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥E F.
∴ .…………………………….……2分
由(1)知,∠ADE = ,
∴ .…………………...……3分
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD.……………………………………………………………………………………..……………4分
②证明:
∵AB=AC,∠ABC = ,
∴ .
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BF, AE=BF.
∴ .……………………………………………………………………………………………5分
由(1)知, ,
∴ .…………………………………………………………………………………………………6分
∴ .
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.………………………………………………………………………………………………………7分
29. (本小题满分8分)
(1)②,③是 联络点.…………………………………………………………………………2分
(2)所有 联络点所组成的区域为图中阴影部分(含边界).
………………………………………………………………………4分
(3)① ∵点M在y轴上,⊙M上只有一个点为 联络点,阴影部分关于y轴对称,
∴⊙M与直线AC相切于(0,0),
或与直线BD相切于(0,1),如图所示.
又∵⊙M的半径 ,
∴点M的坐标为(0, )或(0,2).………………6分
经检验:此时⊙M与 直线AD,BC无交点,⊙M上只有一个点为 联络点,符合题意.
∴点M的坐标为(0, )或(0,2).∴点M的纵坐标为 或2.
② 阴影部分关于直线 对称,故不妨设点M位于阴影部分下方.
∵点M在y轴上,⊙M上只有一个点为 联络点,
阴影部分关于y轴对称,
∴⊙M与直线AC相切于O(0,0),且⊙M与直线AD相离.
作ME⊥AD于E,设AD与BC的交点为F,
∴MO=r,MEr,F(0, ).
在Rt△AOF中,∠AOF=90°,AO=1, ,
∴ , .
在Rt△FEM中,∠FEM=90°,FM=FO+OM=r+ , ,
∴ .
∴ .又∵ ,
∴ .……………………………………………………………………………………8分
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