用等差数列解决求和问题
在小学数学里,有一个知识点很重要,稍微有那么一点点难,这个知识点就是等差数列。它简单快捷,并且广泛地适用于求和问题。今天,我们就一起聊聊:等差数列。
等差数列常见题型变形:
1、在大于1000的整数中,找出所有被34除后商与余数相等的数,那么这些数的和是多少?
解答:
因为34×28+28=35×28=980<1000,所以只有以下几个数:
34×29+29=35×29
34×30+30=35×30
34×31+31=35×31
34×32+32=35×32
34×33+33=35×33
以上数的和为35×(29+30+31+32+33)=5425
2、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张,从盒中任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内,经过若干次这样的操作后,盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片,已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97,求那张黄色卡片上所写的数。
解答:
因为每次若干个数,进行了若干次,所以比较难把握,不妨从整体考虑,之前先退到简单的情况分析:
假设有2个数20和30,它们的和除以17得到黄卡片数为16,如果分开算分别为3和13,再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16,也就是说不管几个数相加,总和除以17的余数不变,
回到题目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180,9180÷17=540,
135个数的和除以17的余数为0,
而19+97=116,116÷17=6……14,
所以黄卡片的数是17-14=3。
3、下面的各算式是按规律排列的:
1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……, 那么其中第多少个算式的结果是1992?
解答:
先找出规律: 每个式子由2个数相加,第一个数是1、2、3、4的循环,第二个数是从1开始的连续奇数。
因为1992是偶数,2个加数中第二个一定是奇数,所以第一个必为奇数,所以是1或3, 如果是1:
那么第二个数为1992-1=1991,1991是第(1991+1)÷2=996项,而数字1始终是奇数项,两者不符,
所以这个算式是3+1989=1992,
是(1989+1)÷2=995个算式。
4、有19个算式:
那么第19个等式左、右两边的结果是多少?
解答:
因为左、右两边是相等,不妨只考虑左边的情况,解决2个问题: 前18个式子用去了多少个数?
各式用数分别为5、7、9、……、第18个用了5+2×17=39个, 5+7+9+……+39=396,
所以第19个式子从397开始计算;
第19个式子有几个数相加? 各式左边用数分别为3、4、5、……、第19个应该是 3+1×18=21个,
所以第19个式子结果是397+398+399+……+417=8547。
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