方程X²=X有四个解?
方程X=X有四个解? 都知道,方程X=X只有两个解:0和1,我今天告诉你的,是这个方程的另外两个解,绝对
让你大吃一斤。
一:奇特的守尾数
守尾数这个名字是我自己取的(纯粹是为了好记)。他是指若一个数的平方等于这个数,那么这个数就是守尾数。
1:一位数的守尾数有哪些?这是小学问题,有0,1,5,6
2:两位数的守尾数有哪些?
由于要保持要保持尾数不变,所以两位数的守尾数肯定是在0,1,5,6这几个数前面加一个数字,经检测,符合守尾数特征的两位数只有25和76两个。因为25=625,76=5776
3:三位数的守尾数有哪些?
与前面的道理一样,三位数的守尾数肯定是在25或76前加一个数字,用与前面相同的方法检测出,符合要求的三位数有625和376,当然,你也可以用下面的方法来计算(讨厌数学计算的朋友可以省略这一段)
所求的三位数可以表示成100K+25和100K+76,我们仅以100K+25为例。
(100K+25)=10000K+5000K+625=10000K+4990K+600+10K+25,要想使这个数的尾数是10K+25,那么前面的三项尾部零的个数至少为三个,而10000K平方已经有三个,所以只需4990K+600能被1000整除,显然只有当K=6时符合要求,所以625为三位数的守尾数。同样的方法可以求出376,也可以求更高位数的守尾数。
4:用前面的方法可以求出四位数的守尾数为0625和9376,五位数的守尾数为90625和09376,最后就得到这样两个无限位的守尾数:
……2890625和……7109376
其实若不介意有无意义,我们完全可以把……0000000和……0000001当成另外的两个守尾数。因为我们已经在0625和09376中将之视为一个四位和五位守尾数。这样看待是有好处的。
二:守尾数与方程X=X
我们得到了四个无限位的守尾数:
①:……2890625②:……7109376③:……0000000④:……0000001
那么说了半天,这四个守尾数与方程X=X有何关系?
这四个守尾数就是方程X=X的四个解!
我们知道守尾数的特征就是平方后其尾数不变,所以这四组无限尾数平方后,其实是与原来相等的。这一点可能有朋友不可理解,这是无限的问题。举个例子,有一条无限长的直线,抹掉一端后,我们完全可以将它与原来看做不变,因为他是无限的。守尾数就是这样的一个特征,用通俗的话讲,就是:
……2890625,……7109376,……0000000,……0000001。这四个数为方程X=X在十进制范围内的解。当然,由于……0000000和……0000001的特殊性,一般不讲他视为无限数,它们就是0和1,我们的“正常”解。注:上面有个条件,就是十进制范围,这个方程在其他进制里还有不同的解。
三:守尾数的特征
我们前面得到的四个守尾数我们可以分为两组:
第一组:
……0000000,……0000001
第二组:
……2890625,……7109376
大家对比一下这两组数中对应的每一位数……会发现一个规律,两个数之和最终都会成为 ……0000001!
对于第二组,若设M=……2890625,N=……7109376。M(a)代表M的前a位,N(a)的代表N的前a位,那么有:M(a)+N(a)=10…01(中间有a-1个零)
而且对于M,有M=((5))……,一直平方下去,这已经是被我证明是对的,再次忽略证明。
根据这两条性质,可以很快地推出任意几位数的守尾数。由此看来,这守尾数全是5的作用,5是一个非常神秘的数字,生活,科学,宗教,神话等都与之有关。
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