直线与圆的位置关系(一)
一. 教学内容:直线与圆的位置关系(一)
二. 重点、难点:
1. 圆周角定理
2. 圆心角定理
3. 圆的内接四边形的对角互补
4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角
5. 圆内接四边形判定定理
6. 切线的判定定理
7. 切线的性质定理
8. 弦切角定理
【典型例题】
[例1] 如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC,求证:∠ACB=2∠BAC。
证明:
< >
[例2] 如图,已知:AB是⊙O的直径,CD是弦,AF⊥CD于F,BE⊥CD于E,连结OE、OF。求证:OE=OF及CE=DF。
证明:延长EO交AF于N点 ∵ BE⊥CD,AF⊥CD ∴ EB//AF ∴
在△BEO与△ANO中,BO=AO ∠B=∠A,∠BOE=∠AON
∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO
过O作OM⊥CD于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF
[例3] 已知:如图所示,AB是⊙O的直径,M是AB上一点,过M作弦CD且MC=MO,求证:。
证明:连结CO且延长交⊙O于E点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC
∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB
∴∵∠MCO是圆周角
∴∴
[例4] 已知:如图AB是直径,C是的中点,CD⊥AB于D交AE于F,求证:CF=AF。
证明:连结AC,CB ∵ C是AE的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90° ∵ CD⊥AB
∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF
[例5] 已知:△ABC内接于⊙O,弦AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D及E,交⊙O于F两点,求证:ED?DO=AD?DC。
证明:延长AO交⊙O于M点,连结CM ∵ AM是⊙O的直径
∴ ∠ACM=90° 又EH⊥AB ∴ ∠EHB=90° ∵ ∠AMC=∠ABC
∴ ∠CAM=∠E 又∠ADO=∠CDE ∴ △ADO∽△CDE
∴
证明:连结AB ∵ ABEC是⊙O1的内接四边形 ∴ ∠BAD=∠E
又 ∵ ADFB是⊙O2的内接四边形 ∴ ∠BAD ∠F=180°
∴ ∠E ∠F=180° ∴ CE//DF
[例7] 四边形ABCD内接于⊙O,对角线是直径,AC与BD相交于点E,BO⊥AD于H,AD=OA=2。求:
(1)∠ABD和∠BEC的度数;
(2)OE:EC;
(3)四边形ABCD的面积。
证明:(1)∵ BO⊥AC ∴ AH=HD ∴ AD=OA=2 ∴ AH=1
∴ ∠OAH=60° ∵ AC是⊙O直径 ∴ ∠ADC=90°
∴ ∠ACD=90°-∠OAH=90°-60°=30°
∵ ∠ABD=∠ACD ∴ ∠ABD=30°
∵ BH是AD的垂直平分线 ∴ BA=BD
∴ ∠BDA=∠BAD=在Rt△ADE中,
∴
(2)在Rt△ADC中,DC=
∵ AD⊥DC,AH⊥BH ∴ BH//DC ∴∴ OE:EC=1:(3)在
∴
作BF⊥DC交DC的延长线于F,则四边形DHBF是矩形
∴ BF=HD=1 ∴∴
[例8] 已知点A、B、C、D顺次在⊙O上,,BM垂直于AC,垂足为M,证明:AM=DC CM。
证明:延长DC至N,使CN=CM,连结BN
由∠BAD ∠BCD=180° ∠BCN ∠BCD=180° 知∠BAD=∠BCN
由知∠BAD=∠BCA AB=BD ∴ ∠BCM=∠BCN
而BC=BC,CM=CN,BM⊥AC ∠BMC=90°
∴ △BCM≌△BCN BM=BN,∠BNC=∠BMC=90°
在Rt△ABM与Rt△DBN中,AB=BD,BM=BN,∠BMA=∠BNC=90°
∴ Rt△ABM≌Rt△DBN AM=DN ∴ AM=DC CM
[例9] 已知弦CD垂直于圆O的直径AB,L为垂足,弦AE平分半径OC于H,求证:弦DE平分弦BC于M。
证明:连结BD,由∴ ∠BAE=∠BDE
由直径AB⊥CD知BC=BD ∠DBC=2∠CBA
又∠AOC=2∠ABC 故∠AOH=∠DBM ∴ △AOH∽△DBM
∴分析:CD是⊙O的切线,连结OC,则OC⊥CD,连结圆心与切点是作辅助线常用的方法之一。
证明:连结OC
∴ AC平分∠DAB
[例11] AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于AD,求证:DC是⊙O的切线。
分析:切线要满足:(1)过半径外端;(2)与半径垂直,而直线CD过半径OD的外端,故关键在于证明CD与OD的垂直关系,利用三角形全等可以证明∠ODC=90°。
证明:连结OD ∵ OA=OD ∴ ∠1=∠2 ∵ AD//OC
∴ ∠2=∠4 ∠1=∠3 ∴ ∠3=∠4 ∴ OB=OD ∠3=∠4 OC=OC
∴ △OBC≌△ODC ∴ ∠OBC=∠ODC
∵ BC是⊙O的切线 ∴ ∠OBC=90° ∴ ∠ODC=90° ∴ DC是⊙O的切线
[例12] 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:CD与小圆相切。
证明:连结OE,过O作OF⊥CD,垂足为F,AB与小圆O切于点E
∴ OE⊥AB ∵ OF⊥CD AB=CD ∴ OE=OF
又OF⊥CD ∴ CD与小圆O相切
【模拟试题
1. 下列三个命题:
① 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
② 垂直于弦的直径平分这条弦;
③ 相等的圆心角所对的弧相等;
其中是真命题的有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
2. 一块手表,早上8时的时针、分针的位置如图所示,那么分针与时针所成的角的度数是( )
A. 60° B. 80° C. 120° D. 150°
3. 已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径是( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 8cm
4. 如图,A,B,C三点在⊙O上,且∠AOB=80°,则∠ACB等于( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°
5. 如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,OC=5cm,则OD的长是( )
A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm
6. 已知如图,⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE,若∠ACB=60°,则下列结论中正确的是( )
A. ∠AOB=60° B. ∠ADB=60° C. ∠AEB=60° D. ∠AEB=30°
7. 如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不一定成立的是( )
A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D.
8. 下列语句:① 相等的圆心角所对的弧相等;② 平分弦的直径垂直于弦;③ 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴;④ 三角形的外心到各顶点的距离相等,其中不正确的有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 以上都不对
9. 如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图P(x,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若x、y都是整数,则这样的点共有( )
A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个
11. 如图,梯形ABCD内接于⊙O,AB//CD,AB为直径,DO平分∠ADC,则∠DAO的度数是( )
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
12. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,若AB=1,CD=8cm,则A,B两点到直线CD的距离之和为( )
A. 12cm B. 1 C. 8cm D. 6cm
13. 下列图中能够说明∠1>∠2的是( )
14. 如图,已知AB,CD是⊙O的两条直径且∠AOC=50°,过A作AE//CD交⊙O于E,则的度数为( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
15. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,此四边形的周长为( )
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
16. 如图,AB是⊙O的直径,点D,E是半圆的三等分点,AE,BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.
17. 托勒密定理:圆内接四边形对边积的和等于两条对角线的积。
18. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,过D作AC的垂线,垂足为E,求证:DE是⊙O的切线。
【试题答案
1. D 2. C 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. C 9. B 10. C
11. D 12. D 13. B 14. D 15. B 16. A
17. 如图,作∠ABP=∠DBC,BP与AC交于P点,可得△ABP∽△DBC
有,同理可证△BCP∽△BDA
有
则
18. 证明:连结OD ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ∵ OB=OD ∴ ∠B=∠ODB
∴ ∠ODB=∠C,OD//AC 又DE⊥AC ∴ OD⊥DE而OD是⊙O的半径
∴ DE是⊙O的切线
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