高二数学简单的线性规划问题检测试题

1.目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义是()

A.该直线的截距

B.该直线的纵截距

C.该直线的横截距

D.该直线的纵截距的相反数

解析：选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距.

2.若x0，y0，且x+y1，则z=x-y的最大值为()

A.-1 B.1

C.2 D.-2

答案：B

高二数学简单的线性规划问题检测3.若实数x、y满足x+y-20，x4，y5，则s=x+y的最大值为________.

解析：可行域如图所示，

作直线y=-x，当平移直线y=-x

至点A处时，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.

答案：9

4.已知实数x、y满足y-2x.x3

(1)求不等式组表示的平面区域的面积;

(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值.

解：画出满足不等式组的可行域如图所示：

(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，

所以三角形OAB的面积为：

S△OAB=12123=18.

(2)目标函数化为：y=12x-z2，画直线y=12x及其平行线，当此直线经过A时，-z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3-26=-9.

一、选择题

1.z=x-y在2x-y+10x-2y-10 x+y1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()

A.(0,1) B.(-1，-1)

C.(1,0) D.(12，12)

解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x=-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.

2.(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-30，2x-y-30，x-y+10，则x+y的最大值为()

A.9 B.157

C.1 D.715

解析：选A.画出可行域如图：

令z=x+y，可变为y=-x+z，

作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大.

由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，zmax=4+5=9.

3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为()

A.[1,3] B.[-3,1]

C.[-1,3] D.[-3，-1]

解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1kAB=23，且k1=1

直线经过C时m最小，为-1，

经过B时m最大，为3.

4.已知点P(x，y)在不等式组x-20x+2y-20表示的平面区域内运动，则z=x-y的取值范围是()

A.[-2，-1] B.[-2,1]

C.[-1,2] D.[1,2]

解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，

∵z=x-y，y=x-z.

由图知截距-z的范围为[-2，1]，z的范围为[-1,2].

5.设动点坐标(x，y)满足x-y+1x+y-40，x3，y1.则x2+y2的最小值为()

A.5 B.10

C.172 D.10

解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.

6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是() w w w .x k b 1.c o m

A.12万元 B.20万元

C.25万元 D.27万元

解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.

由题意得

x0，y0，3x+y13，2x+3y18，可行域如图阴影所示.

由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=53+34=27(万元).

二、填空题

7.点P(x，y)满足条件0101，y-x12则P点坐标为________时，z=4-2x+y取最大值________.

解析：可行域如图所示，新课标第一网

当y-2x最大时，z最大，此时直线y-2x=z1，过点A(0,1)，(z1)max=1，故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.

答案：(0,1) 5

8.已知点P(x，y)满足条件xx2x+y+k0(k为常数)，若x+3y的最大值为8，则k=________.

解析：作出可行域如图所示：

作直线l0∶x+3y=0，平移l0知当l0过点A时，x+3y最大，由于A点坐标为(-k3，-k3).-k3-k=8，从而k=-6.

答案：-6

9.(2010年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

a b/万吨 c/百万元

A 50% 1 3

B 70% 0.5 6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).

解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.

由题意可得约束条件为12x+710y1.9，x+12y2，x0，y0.

作出可行域如图所示：

由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin=31+62=15

答案：15

三、解答题

10.设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件01022y-x1，求z的最大值和最小值.

解：作出不等式组01022y-x1的可行域(如图所示).

令t=2y-2x则z=t+4.

将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.

则其与y=x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大;当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小.

zmax=22-20+4=8，

zmin=21-21+4=4.

11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-102x+y1(aR)，目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值，求a的取值范围.

解：直线x-ay-1=0过定点(1,0)，画出区域2x+y0，x1，让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0，观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a0才满足要求，故a0.

12.某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.

(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少?

(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少?

(3)怎样安排生产可使所获利润最大?

解：由题意可画表格如下：

方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)

书桌(个) 0.1 2 80

书橱(个) 0.2 1 120

(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，

则0.1x600xN*900x300xN*300，xN*.

目标函数为z=80x.

所以当x=300时，zmax=80300=24000(元)，

即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.

(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则

0.2y901600yN*450y600yN*450，yN*.

目标函数为z=120y.

所以当y=450时，zmax=120450=54000(元)，

即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.

(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则

0.1x+0.2y902x+y0，x0，xNx+2y900，2x+y600，x0，y0，且xN，yN.

目标函数为z= 80x+120y.

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略).

作直线l∶80x+120y=0，即直线l∶2x+3y=0(图略).

把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时，此时z=80x+120y取得最大值.

由x+2y=9002x+y=600解得交点的坐标为(100,400).

所以当x=100，y=400时，

zmax=80100+120400=56000(元).

因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大.

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