高中数学等比数列检测考试题(附答案和解释)
2.3.1 等比数列第二课时 优化训练
1.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()
A.4 B.2
C.-2 D.-4
解析:选D.由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由a+3b+c=10可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b成等比数列可得d=6,所以a=-4.
2.等比数列前3项的积为2,最后三项的积为4,所有项的积为64,则该数列有()
A.13项 B.12项
C.11项 D.10项
解析:选B.设该数列为{an},由题意得
a1a2a3=2,anan-1an-2=4,
(a1an)3=8,
a1an=2,
(a1a2…an)2=642=(a1an)n=2n,
n=12.
3.在等比数列{an}中,a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则a7等于()
A.-1 B.1
C.1 D.以上都不正确
解析:选B.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由an=a1qn-1,知数列{an}奇数项和偶数项的符号分别相同.这样由a5+a9=187>0,a5a9=1,得a7=1,选B.
4.已知{an}是等比数列,
(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=________;
(2)若an>0,a1a100=100,则lga1+lga2+…+lga100=________.
解析:(1)∵a2a4+2a3a5+a4a6=25,
a23+2a3a5+a25=25,(a3+a5)2=25,
又an>0,a3+a5=5.
(2)∵a1a100=a2a99=…=a50a51=100,
lga1+lga2+…+lga100=lg(a1a2…a99a100)
=lg(a1a100)50=50 lg100=100.
答案:5 100
5.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8000.求此四个数.
解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,则有
(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.
再设后三个数分别为bq,b,bq,
则有bqbbq=b3=8000,
即b=20.
四个数分别为m,16,20,n.
m=216-20=12,n=20216=25,
即四个数分别为12,16,20,25.
1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a25,a2=1,则a1=()
A.12 B.22
C.2 D.2
解析:选B.设公比为q.
由a3a9=2a25得a26=2a25.
|a6|=2|a5|,|a6a5|=2,即|q|=2,
又∵q>0,q=2,
a1=a2q=22.
2.设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,对应的函数图象如图,且a1=b1,a2n+1=b2n+1,则()
A.an+1=bn+1
B.an+1bn+1
C.an+1bn+1
D.an+1bn+1
解析:选B.由题图可得,选B.
3.已知a,b,c成等比数列,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有()
A.0个 B.1个
C.2个 D.0个或1个
解析:选A.由题意知b2=ac.
∵=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0,
图象与x轴无交点.
4.设xR,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则{5+12},[5+12],5+12()
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析:选B.∵[5+12]=1,{5+12}=5+12-1=5-12,
{5+12}5+12=([5+12])2=1,又∵5+12+{5+12}=52,是等比数列但不是等差数列.
5.若两个数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两个数为两根的一元二次方程是()
A.x2-6x+5=0 B.x2+12x+25=0
C.x2+6x-25=0 D.x2-12x+25=0
解析:选D.设这两个数为x1,x2,由题意知
x1+x2=12,x1x2=25,
以这两个数为两根的方程为x2-12x+25=0.
6.已知a、b、c、d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点为(b,c),则ad等于()
A.3 B.2
C.1 D.-2
解析:选B.曲线y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以顶点为(1,2),即bc=12=2=ad.
7.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.
解析:设插入的三个数为aq,a,aq,据题意,五个数成等比数列,
所以aqaq=83272=36.
所以a=6(舍去a=-6).
插入的三个数的乘积为a3=216.
故答案为216.
答案:216
8.在等比数列{an}中,若a4a6a8a10a12=243,则a210a12的值为________.
解析:由a4a6a8a10a12=243得a58=243,
a8=3.
从而a210a12=a12a8a12=a8=3.
答案:3
9.定义一种运算“*”,对于nN+满足以下运算性质:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1用含n的代数式表示为_________________.
解析:(n+1)*1=3(n*1)=33[(n-1)*1]
=…=3n(1*1)=3n,故n*1=3n-1
答案:3n-1
10.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,nN+,其中k是常数.
(1)求a1及an;
(2)若对于任意的mN+,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.
解:(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1,
an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n2).
a1=k+1也满足上式,所以an=2kn-k+1,nN+.
(2)由am,a2m,a4m成等比数列,得
(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),
将上式化简,得2km(k-1)=0.
因为mN+,所以m0,故k=0或k=1.
11.(2011年荆州高二检测)已知等比数列{an}中,a2=32,a8=12,an+1<an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=log2a1+log2a2+…+log2an,求Tn的最大值及相应的n值.
解:(1)由q6=a8a2=1232=164,
an+1<an,得q=12.
a1=a2q=3212=64,所以通项公式为:
an=64(12)n-1=27-n(nN+).
(2)设bn=log2an,
则bn=log227-n=7-n,
所以,{bn}是首项为6,公差为-1的等差数列.
Tn=6n+nn-12(-1)
=-12n2+132n
=-12(n-132)2+1698.
因为n是自然数,所以,n=6或n=7时,Tn最大,其最大值是T6=T7=21.
12.设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(nN+)是等差数列,数列{bn-2}(nN+)是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)是否存在kN+,使ak-bk(0,12)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵数列{an+1-an}是等差数列,
an+1-an=(a2-a1)+(n-1)d,
a2-a1=-2,a3-a2=-1,d=1,
an+1-an=-2+(n-1)=n-3,
a2-a1=1-3,
a3-a2=2-3,
…
an-an-1=n-1-3,相加得
an-a1=[1+2+3+…+(n-1)]-3(n-1)
an=12(n2-7n+18)(nN+).
∵{bn-2}是等比数列,
bn-2=(b1-2)qn-1,
b1-2=4,b2-2=2,q=12,
bn-2=412n-1.
bn=412n-1+2.
(2)不存在,a1-b1=0,a2-b2=0,a3-b3=0,
n4时,an=12(n2-7n+18)是递增数列,an3.
n4时,bn=412n-1+2是递减数列,
bn212,
an-bn12,
即ak-bk0,12.
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