第1章集合与函数的概念综合检测试题（含解析新人教A版必修1）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013～2014学年天津市五区县高一期中试题)设全集U＝{xZ|－15}，A＝{1,2,5}，B＝{xN|－1＜x＜4}，则B(UA)＝()

A．{3}　 B．{0,3}

C．{0,4} D．{0,3,4}

[答案]　B

[解析]　∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，

UA＝{－1,0,3,4}．

B(UA)＝{0,3}．

2．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()

A．0A B．{1}A

C．A D．{0,1}A

[答案]　B

[解析]　{1}与A均为集合，而“”用于表示元素与集合的关系，所以B错，其正确的表示应是{1}A.

3．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()

A．(1，＋) B．[1，＋)

C．[1,2) D．[1,2)(2，＋)

[答案]　D

[解析]　根据题意有x－10x－20，解得x1且x2.

4．在下面的四个选项中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是()

A．(－，－2) B．(－2，－1)

C．(－1,1) D．(－，0)

[答案]　C

[解析]　函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－，0]，而(－1,1)不是(－，0]的子集，故选C.

5．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象()

A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称

[答案]　C

[解析]　易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．

6．(2013～2014山东济宁市梁山一中期中试题)已知f(x)＝2x－1x12fx－1＋1x12，则f(14)＋f(76)＝()

A．－16 B．16

C．56 D．－56

[答案]　A

[解析]　f(14)＝214＋1＝－12，f(76)＝f(76－1)＋1＝f(16)＋1＝216－1＋1＝13，f(14)＋f(76)＝－16，故选A.

7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是()

[答案]　A

[解析]　由于函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－，0)(0，＋)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C、D；由于当x为很小的正数时，f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)g(x)＜0，可排除B，故选A.

8．(2013～2014瓮安二中学年度第一学期高一年级期末考试)若f(x)是偶函数且在(0，＋)上减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)1的解集为()

A．{x|x3或－30} B．{x|x－3或03}

C．{x|x－3或x D．{x|－30或03}

[答案]　C

[解析]　由于f(x)是偶函数，f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－，0)上是增函数，当x0时，f(x)1即为f(x)f(3)，x3，当x0时，f(x)即f(x)f(－3)，x－3，故选C.

9．定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的x1，x2[0，＋)(x1x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则()

A．f(3)f(－2)f(1) B．f(1)f(－2)f(3)

C．f(－2)f(3) D．f(3)f(－2)

[答案]　C

[解析]　若x2－x10，则f(x2)－f(x1)＞0，

即f(x2)＞f(x1)，

f(x)在[0，＋)上是增函数，

又f(x)是奇函数，f(x)在(－，＋)上为增函数．

又3＞1＞－2，f(3)＞f(1)＞f(－2)，故选C.

10．设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()

A．0　 B．1　

C．52　 D．5

[答案]　C

[解析]　f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，f(2)＝1，

f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.

11．(2013～2014河北冀州中学月考试题)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－254，－4]，则m的取值范围()

A．(0,4] B．[32，4]

C．[32，3] D．[32，＋)

[答案]　C

[解析]　f(x)＝x2－3x－4的最小值为－254.因此m32，又f(0)＝－4，f(3)＝－4，因此323，故选C.

12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝gx，若fxgx，fx，若fxgx.则F(x)的最值是()

A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为7－27，无最小值

C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值

[答案]　B

[解析]　作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．(2011江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，AB＝{3}，则实数a＝________.

[答案]　1

[解析]　∵AB＝{3}，3B，

∵a2＋44，a＋2＝3，a＝1.

14．(2013～2014河南安阳高中月考试题)若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数则a＝________.

[答案]　a＝0

[解析]　f(－x)＝2x2－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，(a＋3x)＋(a－3x)＝0，a＝0.

15．函数f(x)是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f(x)的图象经过点P(－1,2)，Q(3，－4)，则该函数的值域是________．

[答案]　[－4,2]

[解析]　∵f(x)的图象经过点P，Q，

f(－1)＝2，f(3)＝－4.

又f(x)在定义域[－1,3]上是减函数，

f(3)f(1)，

即－42，

该函数的值域是[－4,2]．

16．(2013～2014山东泗水一中月考试题)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的部分不纳税；超过800元而不超过4000元按超过800的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%的税．某人出版了一书共纳税420，这个人的稿费为______元．

[答案]　3800

[解析]　由于420＜400011%＝440，因此该人稿费不超过4000元，设稿费为x元，

则(x－800)14%＝420解得x＝3800元．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2013～2014沈阳二中高一第三次月考试题)已知集合A＝{x|－48}，函数y＝x－5的定义域构成集合B，求：

(1)AB；(2)(RA)B.

[解析]　y＝x－5的定义域，B＝{x|x5}，

则(1)AB＝{x|58}，

(2)RA＝{x|x－4或x8}，

(RA)B＝{x|x－4或x5}．

18．(本小题满分12分)(2013～2014河南南阳市一中月考试题)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象关于直线x＝1对称．

(1)求实数a的值

(2)若f(x)的图象过(2,0)点，求x[0,3]时f(x)的值域．

[解析]　(1)二次函数f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－a2，

－a2＝1，a＝－2.

(2)若f(x)，过(2,0)点，f(2)＝0，

22－22＋b＝0，b＝0，f(x)＝x2－2x.

当x＝1时f(x)最小为f(1)＝－1，当x＝3时，f(x)最大为f(3)＝3，

f(x)在[0,3]值域为[－1,3]．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.

(1)判断函数在区间[1，＋)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

[解析]　(1)f(x)在[1，＋)上是增函数．证明如下：任取x1，x2[1，＋)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1.

∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在[1，＋)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值为f(4)＝24＋14＋1＝95，最小值为f(1)＝21＋11＋1＝32.

20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当02时，y＝x；当x2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．

(1)求函数f(x)在(－，－2)上的解析式；

(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．

[解析]　(1)当x2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.

∵f(x)的图象过点A(2,2)，

f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，a＝－2，

f(x)＝－2(x－3)2＋4.

设x(－，－2)，则－x2，

f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.

又因为f(x)在R上为偶函数，f(－x)＝f(x)，

f(x)＝－2(－x－3)2＋4，

即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x(－，－2)．

(2)图象如图所示．

(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y4}．

单调增区间为(－，－3]和[0,3]．

单调减区间为[－3,0]和[3，＋)．

21．(本小题满分12分)为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．

(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；

(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：

月份 一月 二月 三月 合计

交费金额 76元 63元 45.6元 184.6元

则小明家第一季度共用电多少度？

[解析]　(1)当0100时，y＝0.57x；

当x100时，y＝0.5(x－100)＋0.57100＝0.5x－50＋57＝0.5x＋7.

所以所求函数式为

y＝0.57x，　0100，0.5x＋7，　x100.

(2)据题意，

一月份：0.5x＋7＝76，得x＝138(度)，

二月份：0.5x＋7＝63，得x＝112(度)，

三月份：0.57x＝45.6，得x＝80(度)．

所以第一季度共用电：

138＋112＋80＝330(度)．

故小明家第一季度共用电330度．

22．(本小题满分12分)(2013～2014山东临沂一中月考试题)定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1，且对任意的x，yR，有f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝2.

(1)求f(0)的值；

(2)求证：对任意xR，都有f(x)0；

(3)解不等式f(3－2x)4.

[解析]　(1)对任意x，yR，

f(x＋y)＝f(x)f(y)．

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)f(0)，

即f(0)[f(0)－1]＝0.

令y＝0，得f(x)＝f(x)f(0)，对任意xR成立，

所以f(0)0，因此f(0)＝1.

(2)证明：对任意xR，

有f(x)＝f(x2＋x2)＝f(x2)f(x2)＝[f(x2)]20.

假设存在x0R，使f(x0)＝0，

则对任意x0，有

f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)f(x0)＝0.

这与已知x0时，f(x)1矛盾．

所以，对任意xR，均有f(x)0成立．

(3)令x＝y＝1有

f(1＋1)＝f(1)f(1)，

所以f(2)＝22＝4.

任取x1，x2R，且x1x2，

则f(x2)－f(x1)

＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)

＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．

∵x1x2，x2－x10，

由已知f(x2－x1)1，

f(x2－x1)－10.

由(2)知x1R，f(x1)0.

所以f(x2)－f(x1)0，

即f(x1)f(x2)．

故函数f(x)在(－，＋)上是增函数．

由f(3－2x)4，得f(3－2x)f(2)，

即3－2x2.

解得x12.

所以，不等式的解集是(－，12)．

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