高中数学双曲线检测试题及答案
高二数学双曲线苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
双曲线
二. 重点、难点:
重点:双曲线的定义、方程、几何性质.掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程.
难点:理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程.
三. 主要知识点
1、双曲线的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
说明:双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,这里要注意两点:
(1)距离之差的绝对值.
(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|-|MF2|=2a时,双曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,双曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
2、标准方程的推导
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为双曲线上任意一点,则有F1(-c,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义得出椭圆双曲线集合为:P={M||MF1-MF2|=2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程 (其中c2=a2+b2)
3、两种双曲线性质的比较
焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线
几何
条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数(小于这两个定点之间的距离)
标准
方程 - =1(a0,b0)
- =1(a0,b0)
图形
范围 |x|a |y|a
对称性 x轴,y轴,原点
顶点
坐标 (a,0) (0,a)
实轴
虚轴 x轴,实轴长2a
y轴,虚轴长2b y轴,实轴长2a
x轴,虚轴长2b
焦点
坐标 (c,0)c=
(0,c)c=
离心率
e= , e 1
渐近线 y= x
y= x
4、方法小结
(1)由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数),再由题设条件确定参数值,应特别注意:
①当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏;
②已知渐近线的方程bxay=0,求双曲线方程,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=(0),根据其他条件确定的值.若求得>0,则焦点在x轴上,若求得<0,则焦点在y轴上.
(2)由已知双曲线的方程求基本量,注意首先应将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦点位置,防止将焦点坐标和准线方程写错.
(3)双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如下图),它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2,若记AOB=,则e= = .
(4)参数a、b是双曲线的定形条件,两种标准方程中,总有a>0,b>0;双曲线焦点位置决定标准方程的类型;a、b、c的关系是c2=a2+b2;在方程Ax2+By2=C中,只要AB<0且C0,就是双曲线的方程.
(5)给定了双曲线方程,就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程,只是限制了双曲线张口的大小,不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 =0,则可把双曲线方程表示为 - =(0),再根据已知条件确定的值,求出双曲线的方程.
【典型例题】
例1. 根据下列条件,求双曲线方程:
(1)与双曲线 - =1有共同的渐近线,且过点(-3,2 );
(2)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2).
(3)求中心在原点,两对称轴为坐标轴,并且经过P(3, )Q( ,5).
剖析:设双曲线方程为 - =1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.
解法一:(1)设双曲线的方程为 - =1,
由题意得
解得a2= ,b2=4.
所以双曲线的方程为 - =1.
(2)设双曲线方程为 - =1.
由题意易求c=2 .
又双曲线过点(3 ,2),
- =1.
又∵a2+b2=(2 )2,
a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为 - =1.
解法二:(1)设所求双曲线方程为 - =(0),
将点(-3,2 )代入得= ,
所以双曲线方程为 - = .
(2)设双曲线方程为 - =1,
将点(3 ,2)代入得k=4,所以双曲线方程为 - =1.
评述:求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=(0).与 - =1同焦点的可设为 - =1
(3)设双曲线方程为 (mn0)
将PQ两点坐标代入求得m=-16,n=-9.
故所求方程为
说明:若设 - =1或 - =1两种情况求解,比较繁琐.
例2. △ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B(-1,0),C(1,0),求满足sinC-sinB= sinA时,顶点A的轨迹方程,并画出图形.
解:根据正弦定理得c-b= a=1
即AB-AC=1,所以点A的轨迹为双曲线
又c=1,a= ,b=c2-a2=
故双曲线方程为 (x )
例3. (2002年全国,19)设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.
剖析:由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.
解:设点P的坐标为(x,y),依题意得 =2,即y=2x(x0). ①
因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN|||MN|=2.
∵||PM|-|PN||=2|m|0,
01.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.
故 - =1. ②
将①代入②,并解得x2= ,∵1-m20,1-5m20.
解得0 ,即m的取值范围为(- ,0)(0, ).
评述:本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.
例4. (2003年春季上海)已知椭圆具有的性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C: - =1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
解:类似的性质为若MN是双曲线 - =1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中 - =1.
又设点P的坐标为(x,y),
由kPM= ,kPN= ,得kPMkPN= = ,
将y2= x2-b2,n2= m2-b2,代入得kPMkPN= .
评注:本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质,考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目,对思维能力有较高的要求.
【模拟试题】(完成时间60分钟,满分100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹是 ( )
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
2. 方程 表示双曲线,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 或
3. 双曲线 的焦距是 ( )
A. 4 B. C. 8 D. 与 有关
4.(2004年天津,4)设P是双曲线 - =1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
5. (2005年春季北京,5)“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
6. 焦点为 ,且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A. B. C. D.
7. 若 ,双曲线 与双曲线 有 ( )
A. 相同的虚轴 B. 相同的实轴 C. 相同的渐近线 D. 相同的焦点
8. 过双曲线 左焦点F1的弦AB长为6,则 (F2为右焦点)的周长是( )
A. 28 B. 22 C. 14 D. 12
9. 已知双曲线方程为 ,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则L的条数共有 ( )
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
10. 给出下列曲线:①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③ ④ ,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.(2003年上海)给出问题:F1、F2是双曲线 - =1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________.
12. 过点A(0,2)可以作_________条直线与双曲线x2- =1有且只有一个公共点.
13. 直线 与双曲线 相交于 两点,则 =__________________.
14. 过点 且被点M平分的双曲线 的弦所在直线的方程为 .
三、解答题(40分)
15. (本题满分14分)、已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1||PF2|=32,求F1PF2的大小.
16. (本题满分14分)、已知双曲线x2- =1与点P(1,2),过点P作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
17. (本题满分12分)、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s:相关各点均在同一平面上).
【试题答案】
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C B D A B D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11. |PF2|=17 12. 4 13. 14.
三、解答题(40分)
15. 解:(1)由16x2-9y2=144得 - =1,…………2
a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),…………4
离心率e= ,…………6
渐近线方程为y= x.…………8
(2)||PF1|-|PF2||=6,cosF1PF2= …………10
= = =0. …………12
F1PF2=90。…………14
16. (1)解:设过P(1,2)点的直线AB方程为y-2=k(x-1),…………2
代入双曲线方程得
(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k4-4k+6)=0. …………4
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=- ,…………6
由已知 =xP=1,
=2。解得k=1。 …………8
又k=1时,=16>0,从而直线AB方程为x-y+1=0. …………10
(2)证明:按同样方法求得k=2,…………12
而当k=2时,<0,所以这样的直线不存在. …………14
17. 解:以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.
…………2
设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)…………4
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|- |PA|=3404=1360…………6
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 上,
依题意得a=680, c=1020,…………8
:
…………10
用y=-x代入上式,得 ,∵|PB||PA|,
,…………11
答:巨响发生在接报中心的西偏北45距中心 处. …………12
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