【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2013届高考数学第二轮备考复习教案，希望能给大家带来帮助!

教案67 数列的综合应用

一、课前检测

1.猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为 。

答案：

2.用数学归纳法证明 ,在验证 成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+ C. D.

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 .其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款：

= .

注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金 元,每期利率为 ,则 期后本利和为：

(等差数列问题);②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.如果每期利率为 (按复利)，那么每期等额还款 元应满足：

(等比数列问题).

⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清; 为年利率.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：

(1)分清是等差数列还是等比数列;

(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析

题型1 以等差数列为模型的问题

例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.

剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.

解：设在第n天达到运送食品的最大量.

则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.

an=1000+(n-1)•100=100n+900.

其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为-100的等差数列.

依题意，得

1000n+ ×100+(100n+800)(15-n)+ ×(-100)=21300(1≤n≤15).

整理化简得n2-31n+198=0.

解得n=9或22(不合题意，舍去).

答：在第9天达到运送食品的最大量.

变式训练1 数列{an}中，a1=6，且an-an-1=an-1n+n+1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an=________. 答案：(n+1)(n+2)

解：由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*，n≥2)，则ann+1-an-1n=1，所以数列{ann+1}是以a12=3为首项，1为公差的等差数列，即ann+1=n+2，则an=(n+1)(n+2).n=1时，此式也成立.

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2 以等比数列为模型的实际问题

例2 (2005年春季上海，20)某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

(1)分别求2005年底和2006年底的住房面积;

(2)求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01)

剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.

解:(1)2005年底的住房面积为

1200(1+5%)-20=1240(万平方米)，

2006年底的住房面积为

1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米)，

∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.

(2)2024年底的住房面积为

1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-…-20(1+5%)-20

=1200(1+5%)20-20×

≈2522.64(万平方米)，

∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.

评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.

变式训练2 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___ _万元.

答案： [(1+p)7-(1+p)]

解：存款从后向前考虑

(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)5

= = [(1+p)7-(1+p)].

注：2008年不再存款.

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用

例3 (文)在数列{an}中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N).

(1)试判断数列{1an}是否为等差数列;(2)设{bn}满足bn=1an，求数列{bn}的前n项为Sn;

(3)若λan+1an+1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围.

解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an-1an-1=3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列.

(2)由(1)的结论可得bn=1+(n-1)×3，所以bn=3n-2，

∴Sn=n(1+3n-2)2=n(3n-1)2.

(3)将an=1bn=13n-2代入λan+1an+1≥λ并整理得λ(1-13n-2)≤3n+1，

∴λ≤(3n+1)(3n-2)3n-3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.

设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3，则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)>0，故Cn+1>Cn，

∴Cn的最小值为C2=283， ∴λ的取值范围是(-∞，283].

变式训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn=23an-13，若1

解：∵Sn=23an-13，∴S1=23a1-13=a1，a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1)，即an=(23an-13)-(23an-1-13)=23an-23an-1，整理得：anan-1=-2，∴{an}是首项为-1，公比为-2的等比数列，Sk=a1(1-qk)1-q=(-2)k-13，∵1

小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

四、归纳与总结(以学生为主，师生共同完成)

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：

(1)分清是等差数列还是等比数列;

(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.

3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

4.强化转化思想、方程思想的应用.

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