巧用面积法解题
许多数学问题,表面上看来似与面积无关,但灵活运用面积法,往往能使问题顺利获解,下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知:如图1,AD是△ABC的中线,CFAD于F,BEAD交AD的延长线于E。
求证:CF=BE。
图1
证明:连结EC,由BD=DC得,
,
两式两边分别相加,得
故
所以BE=CF。
注:直接由得
更简洁。
二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2,C是线段AB上的一点,△ACD、△BCE都是等边三角形,AE、BD相交于O。
求证:AOC=BOC。
图2
证明:过点C作CPAE,CQBD,垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形,
所以AC=CD,CE=CB,ACD=BCE,
所以ACE=DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD,
可得CP=CQ
所以OC平分AOB
即AOC=BOC
三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3,在△ABC中,已知ABAC,A的平分线交BC于D。
求证:BDCD。
图3
证明:过点D分别作DEAB、DFAC,垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为BAD=DAC
所以DE=DF
因为
且ADAC
所以
即
所以BDCD
四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知:如图4,设等边△ABC一边上的高为h,P为等边△ABC内的任意一点,PDBC于D,PEAC于E,PFAB于F。
求证:PE+PF+PD=h。
图4
证明:连结PA、PB、PC
因为,
又
所以。
因为△ABC是等边三角形
所以
即PE+PF+PD=h
五. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5,AD是△ABC的角的平分线。
求证:。
图5
证明:过D点作DEAB,DFAC,垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线,
所以DE=DF,
则有。
过A点作AHBC,垂足为H,
则有
即
六. 用面积比求线段的比
例6. 如图6,在△ABC中,已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证:。
图6
证明:连结CM,过B作BGAD交AD延长线于G,则
,
所以。
又,
所以,
所以。
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