巧添平行线 多法证一题
证线段成比例,往往要通过添平行辅助线,构成人教版《几何》第二册214页的图59、510的两个基本图形,即型和型图形,再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中,到底过哪一点作平行线恰当,不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法:以比例式的一边为基准,若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上,则就把这两条线段的三个端点,分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内(外)分点,经过这三点都可作两条平行线。(但过分点作平行线,往往会使证明过程变复杂)。现以《几何》第二册255页第17题为例说明如下。
题目:过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E。
求证:AE:ED=2AF:FB
分析:要证明的比例式中的线段AE、ED和AF、FB,都是有公共端点且各在同一直线上,E、F分别是AD和AB的内分点,所以,至少可以分别过A、E、D、F、B各作两条平行线(如图19),同时,考虑到AD是中线,还可以过C点作平行线(如图1011)。另外,根据题设条件,不添辅助线,直接用梅勒劳斯定理也可证明。这样就得到该题的12种证法。
证法1:如图1,过点A作AG//BC,交CF的延长线于G。
则:
而,所以
图1
证法2:如图2,过点A作AG//FC,交BC的延长线于G。
则:
而
所以
即:
图2
证法3:如图3,过点E作EG//AB,交BC于G。
则: ①
②
③
得:
而
所以
所以
即:
图3
证法4:如图4,过点D作DG//AB,交CF于G。
则:
所以
图4
证法5:如图5,过点D作DG//CF,交AB于G。
则:
所以
图5
证法6:如图6,过点F作FG//BC,交AD于G。
则:
所以
所以
即
图6
证法7:如图7,过点F作FG//AD交BC于G。
则: ①
②
③
得:
而
所以
所以
从而
图7
证法8:如图8,过点B作BG//AD,交CF的延长线于G。
则:
所以
即
图8
证法9:如图9,过点B作BG//CF交AD的延长线于G。
则:
即
所以
即:
图9
证法10:如图10,过点C作CG//AB,交AD的延长线于G,连结CG。
则易证CG=AB,DG=AD
所以
而EG=ED+DG=ED+AD=AE+2ED
所以
所以
即:
图10
证法11:如图11,过点C作CG//DA交BA的延长线于G。
则易证:AG=AB,CG=2AD
所以
而FG=AF+AG=AF+AB
所以
所以
即:
图11
证法12:如图12,可看成直线FE分别截△ABD的三边于F、C、E,则由梅勤劳斯定理立即可得:
而
所以
图12
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