简介：

空间立体几何

空间几何体的表面积与体积

本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式，求常见几何体的表面积与体积.

1. 若球O1、O2的表面积之比=4，则它们的半径之比=________.

2.用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的体积为________.

3.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则此三棱柱的体积为________cm3.

4.有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是________.

【例1】　根据下列对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称.

(1) 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形.

________________;

(2) 一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形.

________________;

(3) 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

________________;

(4) 一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.

________________.

【例2】　如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

【例3】　如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长为a.

(1) 求它的外接球的体积;

(2) 求它的内切球的表面积.

【例4】　(2011·辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.

(1) 证明：PQ⊥平面DCQ;

(2) 求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值.

1. (2011·福建)三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________.

2.(2011·全国)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.

3.(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________.

4. (2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________.

5.(2011·全国)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高.

(1) 证明：平面PAC⊥平面PBD;

(2) 若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥PABCD的体积.

6. (2011·安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED⊥平面ACFD，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODE、△ODF都是正三角形.

(1) 证明：BC∥EF;

(2) 求棱锥FOBED的体积.

(2010·安徽)(本小题满分14分)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.

(1) 求线段PD的长;

(2) 若PC=R，求三棱锥PABC的体积.

解：(1) ∵ BD是圆的直径　∴ ∠BAD=90°.(2分)

又△ADP∽△BAD，∴ =，(4分)

DP====3R.(7分)

(2 ) 在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=R.

∵ PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，∴ PD⊥CD.(9分)

又∠PDA=90°，∴ PD⊥底面ABCD，

S△ABC=AB·BCsin(60°+45°)=R2，(12分)

VPABC=S△ABC·PD=R3.(14分)

专题五　空间立体几何

第14讲　空间几何体的表面积与体积

1. 下列结论正确的是____________(写出所有正确结论的序号).

① 各个面都是三角形的几何体是三棱锥;

② 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥;

③ 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥;

④ 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.

【答案】　④

2. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为，则四面体AB1CD1的外接球的体积为__________.

【答案】　π　解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球.

3. 有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为____________.

【答案】　2πa2　解析：当气球表面积最大时，球与正方体的棱相切.

4. 已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r(用S△ABC表示△ABC的面积)，则S△ABC=r(a+b+c);类比这一结论有：若三棱锥A—BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA—BCD=____________.

【答案】　R(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)

5. 如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

点拨：求棱锥C—A′DD′的体积直接用公式，剩余的体积用大减小.

解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.

设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.

而棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高为h，

因此，棱锥C—A′DD′的体积VC—A′DD′=×Sh=Sh.

余下的体积是Sh-Sh=Sh.

所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

6. 如图，以长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体.

(1) 若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(2) 我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(3) 若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体(不要求证明)，并计算它的体积与长方体的体积的比.

解：(1) 如四面体A1—ABC或四面体C1—ABC或四面体A1—ACD或四面体C1—ACD;

(2) 如四面体B1—ABC或四面体D1—ACD;

(3) 如四面体A—B1CD1;

设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则=.

基础训练

1. 2

2. 3π

3. 6

4. 　解析：(本题考查侧面展开图的应用)如图所示，圆柱的底面周长是2π，将圆柱沿母线展开，则缠绕3圈的最短长度就是边长分别为5 cm和6π cm的对角线长A1B.

例题选讲

例1　【答案】　(1) 正六棱柱　(2) 圆锥　(3) 圆台　(4) 由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体

变式训练　下列命题正确的是________.

① 由五个面围成的多面体只能是四棱锥;

② 棱锥的高线可能在几何体之外;

③ 有一个面是多边形，其余各个面是三角形的几何体是棱锥;

④ 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么此圆锥的轴截面是正三角形.

【答案】　②④　解析：五个面的多面体可能是三棱柱，故①错;过三棱锥顶点引底面垂线，垂足有可能落在底面三角形外，故②对;正八面体的各个面都是三角形，故③错;设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl2=πrl，所以l=2r，于是轴截面是正三角形，则④对.

例2　解：如图所示，过C作C1O⊥AB于O1，

在半圆中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，

∴ AC=R，BC=R，CO1=R，

∴ S球=4πR2，

S圆锥AO1侧=π×R×R=πR2，

S圆锥BO1侧=π×R×R=πR2，

∴ S几何体=S球+S圆锥AO1侧+S圆锥BO1侧=4πR2+πR2+πR2=πR2，

∴ 旋转所得到的几何体的表面积为πR2.

又V球=πR3，V圆锥AO1=AO1·π·CO=πR2·AO1，

V圆锥BO1=BO1·π·CO=BO1·πR2，

∴ V几何体=V球-(V圆锥AO1+V圆锥BO1)

=πR3-πR3=πR3，

∴ 旋转所得到的几何体的体积为πR3.

变式训练　如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为____________.

【答案】　1∶1　解析：因为V1=πR2·R=πR3，V1+V2=×πR3=πR3，所以V2=πR3，即V1∶V2=1∶1

例3　点拨：首先确定球心的位置，然后利用截面解三角形求解.

解：(1) 设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径.

∵ AB=BC=a，∴ AC=a.

∵ SA=SC=AC=a，∴ △SAC为正三角形.

由正弦定理得2R===a，

因此，R=a，V球=πR3=πa3.

(2) 设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，连结EF，

则有SF=

==a，

S△SBC=BC·SF=a×a=a2.

S棱锥全=4S△SBC+S底=(+1)a2.

又SE===a，

∴ V棱锥=S底h=a2×a=a3.

∴ r===a，S球=4πr2=πa2.

变式训练　如图正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将△DAE，△EBF，△FCD折起来，使A，B，C三点重合于点S, 则三棱锥S—DEF的外接球体积为__________.

【答案】　πa3　解析：由题意可知SD、SE、SF两两垂直，则外接球的半径

R=

==a

∴ V=πR3=πa3.

例4　(1) 证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD，

所以PQ⊥平面DCQ.

(2) 解：设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，

所以棱锥Q—ABCD的体积V1=a3.

由(1)知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=a，△DCQ的面积为a2，

所以棱锥P—DCQ的体积为V2=a3.

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.

高考回顾

1. 

2. 6πa2

3. π

4. 2πR2　解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S=2π·Rsinα·2Rcosα=2πR2sin2α，当α=时，S取最大值2πR2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2πR2.

5. (1) 证明：因为PH是四棱锥P—ABCD的高，则PH⊥BD，又AC⊥BD，PH平面PBD，BD平面PBD，PH∩BD=H，所以AC⊥平面PBD.

因为AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.

(2) 解：因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=， 所以HA=HB=.因为∠APB=∠ADB=60°，所以PA=PB=，HD=HC=1，可得PH=.S梯形ABCD=AC·BD=2+.所以四棱锥的体积为V=(2+)·=.

6. (1) 证明：设G是线段DA和线段EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=DE，OG=OD=2;同理，设G′是线段DA和线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2.又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G和G′重合.

在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=DE和OC∥DF，OC=DF，可知B、C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

(2) 解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°知S△EOB=，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED=，所以SOBED=;过点F作FQ⊥AD交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以VF—OBED=FQ·SOBED=.

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