高一数学教案:平面向量教案
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本文题目:高一数学教案:平面向量教案
教材:5.3实数与向量的积综合练习
目的:通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。
过程:一、复习:1.实数与向量的积 (强调:模与方向两点)
2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)
3.向量共线的充要条件
4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)
1.当Z时,验证:( + )= +
证:当=0时,左边=0( + )= 右边=0 +0 = 分配律成立
当为正整数时,令=n, 则有:
n( + )=( + )+( + )++( + )
= + ++ + + + ++ =n +n
即为正整数时,分配律成立
当为负整数时,令=n(n为正整数),有
n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n
分配律仍成立
综上所述,当为整数时,( + )= + 恒成立 。
2.如图,在△ABC中, = , = AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,求向量
解一:∵ = , = 则 = =
= + = + 而 =
= +
解二:过G作BC的平行线,交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
= = = =
= =
= + = +
3.在 ABCD中,设对角线 = , = 试用 , 表示 ,
解一: = = = =
= + = =
= + = + = +
解二:设 = , =
则 + = + = = ( )
= = = ( + )
即: = ( ) = ( + )
4.设 , 是两个不共线向量,已知 =2 +k , = +3 , =2 , 若三点A, B, D共线,求k的值。
解: = =(2 )( +3 )= 4
∵A, B, D共线 , 共线 存在使 =
即2 +k =( 4 ) k=8
5.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2CD,M, N分别是DC, AB中点,设 = , = ,试以 , 为基底表示 , ,
解: = = 连ND 则DC╩ND
= = =
又: = =
= = =
=( + ) =
6.1kg的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图),已知两细绳与水平线分别成30, 60角,问两细绳各受到多大的力?
解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
= cos60=1 =0.5 (kg)
= cos30=1 =0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
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C.摆球受重力和拉力的作用 D.摆球受重力和向心力的作用
2、所示,一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则以下说法中正确的是( )
A.A球的线速度必定大于B球的线速度
B.A球的角速度必定小于B球的线速度
C.A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D.A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
3、所示,细绳的一端固定于O点,另一端系一个小球,在O点的正下方钉一个钉子A。让小球从一定高度摆下,经验告诉我们,当细绳与钉子相碰时,如果钉子的位置越靠近小球,绳就越容易断。请用圆周运动的知识加以论证。
4、,已知绳长a=0.2m,水平杆长b=0.1m,小球质量m=0.3kg,整个装置可绕竖直轴转动。
(1)要使绳子与竖直方向成450角,试求该装置必须以多大的角速度旋转?(2)此时绳子对小球的拉力为多大?
5、所示,被长为L的细线OB系住的小球处于静止状态,把水平线OA剪断的瞬间小球的加速度大小。
6、所示,半径为R的半球形碗内,有一个具有一定质量的物体A,A与碗壁间的动摩擦因数为 ,当碗绕竖直轴 匀速转动时,物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动,求碗转动的角速度.
7、所示,在光滑的水平面上钉两个钉子A和B,相距20 cm.用一根长1 m的细绳,一端系一个质量为0.5 kg的小球,另一端固定在钉子A上.开始时球与钉子A、B在一直线上,然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4 N,那么从开始到绳断所经历的时间是多少?
8、所示,水平转盘的中心有个竖直小圆筒,质量为m的物体A放在转盘上,A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连,B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍,则转盘转动的角速度在什么范围内,物体A才能随盘转动.
参考答案
[当堂达标]
1、B 2、【解析】:小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动,根据向心力公式,所需向心力的大小为:
运动中,小球受到竖直向下的重力G,竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F,所示,这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心力,由于其中重力G和支持力N为一对平衡力,因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向心力,为此绳对小球需施拉力的大小为 N.
3、A 4、【解析】:小物块在水平面内做匀速圆周运动,向心力由墙壁对它的弹力FN提供,竖直方向必须满足f 静 =mg,根据题设有:f 静max = f 滑=FN, 且FN=m2R,得
[课后练习]
1、【答案】:C
【解析】:我们在进行受力分析时,物体受到哪几个力的作用中的力是指按照性质命名的力,显然,物体只受重力G和拉力FT的作用,而向心力F是重力和拉力的合力,所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2,显然,FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以,本题正确选项为C。
2、【答案】:AB
【解析】:小球A和B的受力情况所示,由图可知,两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力,建立所示的坐标系,则有:
FN1=FNsin=mg
FN2=FNcos=F
所以F=mgcot。
也就是说FN在指向圆心方向的分力即合力F=mgcot提供小球做圆周运动所需的向心力,可见A、B两球受力情况完全一样,当然向心力肯定也大小相等。由于前提是两球的向心力一样,所以比较时就好比较了
比较两者线速度大小时,由F=mv2r 可知:r越大,v一定较大,因此选项A正确。
比较两者角速度大小时,由F=mr2可知:r越大,一定较小,因此选项B正确。
比较两者的运动周期时,由F=mr(2T )2可知:r越大,T一定较大,因此选项C不正确。
由受力分析图可知,小球A和B受到的支持力FN都等于mgsin ,因此选项D不正确。
3、【解析】:在绳子与钉子相碰的瞬间,速度大小不变,但小球从大半径的圆周运动突变到小半径的圆周运动,所以由于v不变,根据公式 知:r越小,F越大,故绳越易断。
4、【答案】: =6.4 (rad/s),F=2.77N
【解析】:以小球为研究对象,其圆周运动的圆心在竖直轴上。
半径r=b+acos450=0.24(m) 小球受重力和绳子拉力F,以竖直方向和指向圆心方向建立直角坐标系,则有:
Fcos450 mg = 0 (1)
Fsin450=m2r (2)
由(1)(2)解得:=6.4 (rad/s),F=2.77N
5、【答案】:
【解析】:剪断的瞬间,OA绳子的拉力瞬间消失,小球将开始由静止做圆周运动,由于开始速度为0,所以向心力为0,即绳子拉力等于 ,合加速度为切向加速度
6、【答案】:
【解析】:物体A随碗一起转动而不发生相对滑动,放物体做匀速圆周运动的角速度 就等于碗转动的角速度 。因为物体A在碗口附近,所以可以认为物体在水平面内做圆周运动,则物体A做匀速圆周运动所需的向心力是由碗壁对物体的弹力提供,此时物体所受的摩擦力与重力平衡。
解:物体A做匀速圆周运动,向心力:
而摩擦力与重力平衡,则有:
即:
由以上两式可得:
即碗匀速转动的角速度为:
7、【答案】:3.768s
【解析】:球每转半圈,绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子,然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动,运动的半径就减少0.2 m,但速度大小不变(因为绳对球的拉力只改变球的速度方向).根据F=mv2/r知,绳每一次碰钉子后,绳的拉力(向心力)都要增大,当绳的拉力增大到Fmax=4 N时,球做匀速圆周运动的半径为rmin,则有
Fmax=mv2/rmin
rmin=mv2/Fmax=(0.522/4)m=0.5 m.
绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m,第三次碰钉子后半径减为0.4 m.所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断,在这之前球运动的时间为:
t=t1+t2+t3
=(l-0.2)/v+(l-0.4)/v
=(3l-0.6)/v
=(31-0.6)3.14/2 s
=3.768 s
答案 3.768 s
说明 需注意绳碰钉子的瞬间,绳的拉力和速度方向仍然垂直,球的速度大小不变,而绳的拉力随半径的突然减小而突然增大.
8、【答案】:
【解析】:若要A在圆盘上随盘做匀速圆周运动,所以它所受的合外力必然指向圆心,而其中重力、支持力平衡,绳的拉力指向圆心,所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心,或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时,A所受的最大静摩擦力指向圆心,A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F+Fm =m12r ①
由于B静止,故
F=mg ②
由于最大静摩擦力是压力的倍,即
Fm FN=mg ③
由①、②、③解得
当A将要沿盘向圆心滑时,A所受的最大静摩擦力沿半径向外,这时向心力为:
F-Fm =m22r ④
由②、③、④得2= .
要使A随盘一起转动,其角速度应满足
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