高一数学第一单元教案:空间几何体的结构
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本文题目:高一数学第一单元教案:空间几何体的结构
第八编 立体几何
8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1.下列不正确的命题的序号是 .
①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
④有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
答案 ①②③
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 .
答案 60
3.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是 cm2.
答案 (20+4 )
4.(2008宁夏文,14)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 ,底面周长为3,那么这个球的体积为 .
答案
5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△ABC的面积为 .
答案 a2
例1 下列结论不正确的是 (填序号).
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案 ①②③
解析 ①错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不一定
是棱锥.
②错误.如下图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.
③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.
④正确.
例2 (14分)已知△ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形,求原三角形ABC的面积.
解 建立如图所示的xOy坐标系,△ABC的顶点C在y轴上,AB边在x轴上,OC为△ABC的
高. 3分
把y轴绕原点顺时针旋转45得y轴,则点C变为点C,且OC=2OC,A、B点即为A、
B点,AB=AB. 6分
已知AB=AC=a,在△OAC中,
由正弦定理得 = , 9分
所以OC= = ,
所以原三角形ABC的高OC= a, 12分
所以S△ABC= a a= 2. 14分
例3 一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.
解 由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示:
且AA=BB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形ABC的高为2 cm.
正三角形ABC的边长为
|AB|= =4.
该三棱柱的表面积为
S=344+2 42sin60=48+8 (cm2).
体积为V=S底|AA|= 42sin604=16 (cm3).
故这个三棱柱的表面积为(48+8 )cm2,体积为16 cm3.
例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,
求图中三角形(正四面体的截面)的面积.
解 如图所示,△ABE为题中的三角形,
由已知得AB=2,BE=2 = ,
BF= BE= ,AF= = = ,
△ABE的面积为
S= BEAF= = .
所求的三角形的面积为 .
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为等腰四棱锥,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中为真命题的是 (填序号).
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
答案 ①③④
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .
答案 2 a2
3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等
腰三角形,左视图(或称侧视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形,高VO=4,O点是AC与BD的交点.
该几何体的体积
V= 864=64.
(2)如图所示,侧面VAB中,VEAB,则
VE= = =5
S△VAB= ABVE= 85=20
侧面VBC中,VFBC,
则VF= = =4 .
S△VBC= BCVF= 64 =12
该几何体的侧面积
S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24 .
4.(2007全国Ⅱ文,15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.
答案 2+4
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