高二数学教案:二项式定理教案
学习目标:
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
(1) ,
(2) .
2.二项展开式的通项公式:
3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数,当 依次取 时,二项式系数表,表中每行两端都是 ,除 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5.二项式系数的性质:
展开式的二项式系数是 , , ,, . 可以看成以 为自变量的函数 ,定义域是 ,例当 时,其图象是 个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两 端等距离的两个二项式系数相等(∵ ).
直线 是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值:当 是偶数时,中间一项 取得最大值;当 是奇数时,中间两项 , 取得最大值.
(3)各二项式系数和:
∵ ,
令 ,则
二、讲解范例:
例1. 设 ,
当 时,求 的值
例2.求证: .
证(法一)倒序相加:设 ①
又∵ ②
∵ , ,
由①+②得: ,
,即 .
(法二):左边各组合数的通项为
,
.
例3.已知: 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 .
(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系 数最大的项
解:令 ,则展开式中各项系数和为 ,
又展开式中二项式系数和为 ,
, .
(1)∵ ,展开式共 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
, ,
(2)设展开式中第 项系数最大,则 ,
, ,
即展开式中第 项 系数最大, .
例4.已知 ,
求证:当 为偶数时, 能被 整除
分析:由二项式定理的逆用化简 ,再把 变形,化为含有因数 的多项式
∵ ,
,∵ 为偶数,设 ( ),
( ) ,
当 = 时, 显然能被 整除,
当 时,( )式能被 整除,
所以,当 为偶数时, 能被 整除
三、课堂练习:
1. 展开式中 的系数为 ,各项系数之和为 .
2.多项式 ( )的展开式中, 的系数为
3.若二项式 ( )的展开式中含有常数项,则 的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应 ( )
A.低于5% B.在5%~6%之间
C.在6%~8%之间 D.在8%以上
5.在 的展开式中,奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,则 等于( )
A.0 B. C. D.
6.求和: .
7.求证:当 且 时, .
8.求 的展开式中系数最大的项
答案:1. 45, 0 2. 0 .提示:
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小结 :二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,涉 及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行 逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业 :
1.已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项,而 展开式的系数的最大的项等于 ,求 的值
答案:
2.设
求:① ② .
答案:① ; ②
3.求值: .
答案:
4.设 ,试求 的展开式中:
(1)所有项的系数和;
(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案:(1) ;
(2)所有偶次项的系数和为 ;
所有奇次项的系数和为
六、板书设计(略)
七、课后记:
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