初中数学百科知识之接触问题_趣味数学

初中数学百科知识之接触问题

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弹性力学中研究的两接触物体受压力后产生局部应力和变形的问题的统称。轴承、凸轮机构、齿轮、硬度计、轧钢机的轧辊、桥梁支座和刚性压头等在使用中都有接触问题。接触问题曾是应用数学力学家面临的一大难题。在过去一百多年的研究中，产生了一系列有效的数学方法。

材料在接触区的变形受到各个方面的限制，因而处于三向应力状态。接触应力具有明显的局部性质，而且总是随着离开接触区距离的增大而迅速衰减。一般在接触表面中心的压应力最大。

德国的H.R.赫兹于1881年用数学弹性力学方法导出了接触问题的一个公式。他随后所作的实验表明，理论计算值与实测值相差不到1%。在推导公式中他作了如下假设：①接触区应力不超过弹性极限(见材料的力学性能);②接触面尺寸和物体接触点的曲率半径相比甚小，可将接触点附近物体近似地看作是二次抛物面;③沿接触面分布的压力垂直于接触面。

如果不考虑出现在接触体之间的摩擦力，接触问题就可大为简化

在计算机械零件所遇到的接触问题中,有很多场合可略去摩擦力。在互相接触的零件之间加一层油膜，摩擦力就可明显下降;如果一个零件对另一零件运动的速度不太大，则可忽略流体的动力效应。

解决接触问题所依据的基本关系如下：①变形方面，原为点接触的物体，受力后接触表面为椭圆形(一般情况)或圆形(特殊情况，例如两个球接触);原为线接触的物体，受力后接触表面为矩形。此外，两接触物体的变形符合变形连续条件。②物理方面，材料处于弹性阶段，且接触表面上的压应力和接触物体的应变呈线性关系。③静力平衡方面，根据接触表面压应力分布规律求得的合力应等于外载荷。

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