方程X²=X有四个解？_名师指点

方程X²=X有四个解？

方程X=X有四个解？都知道，方程X=X只有两个解：0和1，我今天告诉你的，是这个方程的另外两个解，绝对

让你大吃一斤。

一：奇特的守尾数

守尾数这个名字是我自己取的（纯粹是为了好记）。他是指若一个数的平方等于这个数，那么这个数就是守尾数。

1：一位数的守尾数有哪些？这是小学问题，有0，1，5，6

2：两位数的守尾数有哪些？

由于要保持要保持尾数不变，所以两位数的守尾数肯定是在0,1,5,6这几个数前面加一个数字，经检测，符合守尾数特征的两位数只有25和76两个。因为25=625,76=5776

3：三位数的守尾数有哪些？

与前面的道理一样，三位数的守尾数肯定是在25或76前加一个数字，用与前面相同的方法检测出，符合要求的三位数有625和376，当然，你也可以用下面的方法来计算（讨厌数学计算的朋友可以省略这一段）

所求的三位数可以表示成100K+25和100K+76，我们仅以100K+25为例。

（100K+25）=10000K+5000K+625=10000K+4990K+600+10K+25，要想使这个数的尾数是10K+25，那么前面的三项尾部零的个数至少为三个，而10000K平方已经有三个，所以只需4990K+600能被1000整除，显然只有当K=6时符合要求，所以625为三位数的守尾数。同样的方法可以求出376，也可以求更高位数的守尾数。

4：用前面的方法可以求出四位数的守尾数为0625和9376，五位数的守尾数为90625和09376，最后就得到这样两个无限位的守尾数：

……2890625和……7109376

其实若不介意有无意义，我们完全可以把……0000000和……0000001当成另外的两个守尾数。因为我们已经在0625和09376中将之视为一个四位和五位守尾数。这样看待是有好处的。

二：守尾数与方程X=X

我们得到了四个无限位的守尾数：

①：……2890625②：……7109376③：……0000000④：……0000001

那么说了半天，这四个守尾数与方程X=X有何关系？

这四个守尾数就是方程X=X的四个解！

我们知道守尾数的特征就是平方后其尾数不变，所以这四组无限尾数平方后，其实是与原来相等的。这一点可能有朋友不可理解，这是无限的问题。举个例子，有一条无限长的直线，抹掉一端后，我们完全可以将它与原来看做不变，因为他是无限的。守尾数就是这样的一个特征，用通俗的话讲，就是：

……2890625，……7109376，……0000000，……0000001。这四个数为方程X=X在十进制范围内的解。当然，由于……0000000和……0000001的特殊性，一般不讲他视为无限数，它们就是0和1，我们的“正常”解。注：上面有个条件，就是十进制范围，这个方程在其他进制里还有不同的解。

三：守尾数的特征

我们前面得到的四个守尾数我们可以分为两组：

第一组：

……0000000，……0000001

第二组：

……2890625，……7109376

大家对比一下这两组数中对应的每一位数……会发现一个规律，两个数之和最终都会成为 ……0000001!

对于第二组，若设M=……2890625，N=……7109376。M(a)代表M的前a位，N(a)的代表N的前a位，那么有：M(a)+N(a)=10…01（中间有a-1个零）

而且对于M，有M=((5))……，一直平方下去，这已经是被我证明是对的，再次忽略证明。

根据这两条性质，可以很快地推出任意几位数的守尾数。由此看来，这守尾数全是5的作用，5是一个非常神秘的数字，生活，科学，宗教，神话等都与之有关。

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