直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角
直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角
二. 本周教学重、难点:
1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,了解三垂线定理及其逆定理,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法,并会计算所求角的大小。
【典型例题】
[例1] 如图所示,在棱长为的正方体中,E、F分别是棱AB和BC的中点,EF与BD交于点G。
(1)求二面角的大小;
(2)M为棱上的一点,当的值为多少时,能使平面EFB1?请给出证明。
解:(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD,EF//AC
∴ BG⊥EF,连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
是二面角的平面角
∴ 二面角的正切值为
∴ 二面角的大小为
(2)当时能使平面EFB1
证明如下:面AB1,知D1M在面AB1的射影是A1M
∵
∴
而
∴
∴ ,因此
同理,
∴ 平面EFB1
[例2] 如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,。求证:MN⊥CD,MN⊥平面PCD。
证明:连结AC、BD交于O,连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA,又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD,又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在中,∴ PA=AD
又 ∵ AM=BM,PA⊥AM,BC⊥BM ∴
∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC
又 ∴ MN⊥平面PCD
[例3] 如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=CD=,AD=BC=,,,将其沿对角线BD折成直二面角。
(1)证明AB⊥平面BCD;
(2)证明平面ACD⊥平面ABD;
(3)求二面角的大小。
解析:(1)证明:在中,由余弦定理,得
∴
∴
又 ∵ 二面角为直二面角,平面ABD,DB=平面平面BDC
∴ AB⊥平面BDC
(2)证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC,AB平面ABD
∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面平面BDC,DC平面BDC,DC⊥平面ABD
又 ∵ DC平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD
(3)作BQ⊥CE于Q,由平面几何知识,得
连结AQ,由三垂线定理,AQ⊥CE ∴ 是二面角的平面角
在中,
∴ 即二面角的大小为
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