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均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑

1. 凑系数

【例1】当时，求的最大值。

【解析】由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当，即x=2时取等号。

所以当x=2时，的最大值为8。

【评注】本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

【例2】已知，求函数的最大值。

【解析】由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。

∵

∴

当且仅当，即时等号成立。

【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离

【例3】求的值域。

【解析】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。

当，即时

(当且仅当x=1时取“=”号)。

当，即时

(当且仅当x=-3时取“=”号)。

∴的值域为。

【评注】分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换

【例4】已知，求的最小值。

【解法1】不妨将乘以1，而1用a+2b代换。

当且仅当时取等号，由

即时，的最小值为。

【解法2】将分子中的1用代换。

【评注】本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元

【例5】求函数的最大值。

【解析】变量代换，令，则

当t=0时，y=0

当时，

当且仅当，即时取等号。

故。

【评注】本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

【例6】求函数的最大值。

【解析】注意到的和为定值。

又，所以

当且仅当，即时取等号。

故。

【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

【练一练】

1. 若，求的最大值。

2. 求函数的最小值。

3. 求函数的最小值。

4. 已知，且，求的最小值。

【参考答案】1.

2. 5

3. 8

4.

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标签： 均值 不等式 方法 利用均值不等式求最值的方法

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