高中数学知识点：利用均值不等式求最值的方法_考前复习

均值不等式 width:46.5pt;' 时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将

当且仅当，即x=2时取等号。

解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。

∵

当且仅当时等号成立。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。

评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换

解法1：不妨将乘以1，而1用a+2b代换。

解法2：将分子中的1用

评注：本题巧妙运用1的代换，得到与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元

例5. 求函数，则时，

当且仅当，即。

评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

例6. 求函数的和为定值。

评注：本题将解析式两边平方构造出和为定值，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

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