西江中学2015届高三数学10月月考试题(理科)
西江中学2015届高三数学10月月考试题(理科)
参考公式:
独立性检验:设随机变量 (其中 )是由观测样本的22列联表所得到的随机变量,则 的计算值 对应的概率 如下表所示:
P(K20.500. 400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
选择题:
1.设全集 ,则
A.{1} B.{l,2} C.{0,1,2} D.{一1,0,1,2}
2.复数 满足 ,则在复平面上复数 对应的点位( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
3. 下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为( ).
A. B. C. D.
4. 在 中,若 ,则 ( ).
A. B. C. D.
5.如图右所示,该程序运行后输出的结果为 ()
A.14B.16 C.18 D.64
6.如图1, 、 分别是正方体 中 、 上的动点(不含端点),则四边形 的俯视图可能是
A. B. C. D.
7.现有16张不同卡片,其中红色,黄色,蓝色,绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张不能是同一颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法为( )
A.232种 B.252种 C.472种 D.484种
8.在区间 上随机取两个数 ,其中满足 的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题:
9. 不等式 的解集是 .
10. .
11. 已知平面向量 , ,若 ,则实数 .
12. 若 , 满足约束条件 ,则 的最大值是 .
13. 曲线 在点 处的切线方程为 .
选做(两题任选做一题)
14. 以直角坐标系的原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取相同的单位长度,点 的极坐标为 ,曲线 的参数方程为 ,则曲线 上的点B与点A距离的最大值为 .
15. 如图,在 中,斜边 ,直角边 ,如果
以C为圆心的圆与AB相切于 ,则 的半径长为 。
解答题:(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16. (本小题满分12分)已知 、 都是锐角, , ,
⑴求 和 的值;
⑵求 和 的值。
17. (本小题12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,得到如下列联表:
文艺节目新闻节目总计
20至40岁401656
大于40岁202444
总计6040100
⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应抽取几名?
⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由;
18. (本小题满分14分)某校兴趣小组进行了一项娱乐与年龄关系的调查,对 15~65岁的人群随机抽取1000人的样本,进行了一次是否是电影明星追星族调查,得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和追星族统计表:
各年龄段样本人数频率分布直方图 追星族统计表
组数分组追星族人数占本组频率
一[15,25)a0.75
二[25,35)2000.40
三[35,45)50.1
四[45,55)3b
五[55,65]20.1
(1)求 的值.
(2)设从45岁到65岁的人群中,随机抽取2人,用样本数据估计总体, 表示其中追星族的人数,求 分布列、期望和方差.
19.(本小题14分)如图,在长方体 中, = =1, ,点E是线段AB中点.
(1)求证: ;
(2)求二面角 的大小的余弦值;
(3)求 点到平面 的距离.
20.(本小题满分14分)焦点在x轴的椭圆 ,过 右顶点 的直线 与曲线 相切,交 于 二点.
(1)若 的离心率为 ,求 的方程.
(2)求 取得最小值时 的方程.
21.(本小题满分14分)21(本小题满分14分)
已知函数 ,曲线 经过点 ,且在点 处的切线为 : .
⑴ 求常数 , 的值;
⑵ 求证:曲线 和直线 只有一个公共点;
⑶ 是否存在常数 ,使得 , 恒成立?若存在,求常数 的取值范围;若不存在,简要说明理由.
2015届西江中学高三理数10月考答案
一、ADCB,ABCB
二、9. 10. 11.
12.0 13. 14.5 15.
三、16.解:(1)⑴因为 都是锐角,所以 , -----------1分
(-----------2分)
(-----------4分)
(-----------6分)
⑵因为 都是锐角,所以 , (-----------7分)
= (-----------9分)
(10分)
(-----------11分)
(-----------12分)
17.⑴应抽取大于40岁的观众人数为 (名)4分(列式4分,计算1分)
⑵根据列联表中的数据,得
10分(列式2分,计算2分,判断2分)
所以,有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关12分
18.解: (1).由题设知[15,25)这组人数为0.04101000=400,1分
故a=0.75400=300 2分
[45,55)这组人数为0.003101000=30,故b= 3分
综上,a=300,b=0.1. 4分
(2).由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为
~B(2, ) 6分
故 的分布列是
012
p0.810.180.01
8分
的期望是 10分
的方差是 12分
19. (1) 证明: 面 , 面
所以, 1分
中, ,
同理: ,又 ,
3分
所以, 面 4分
又 面
所以, 5分
(2)解法一 由(1)证可知 是所求二面角 的平面角6分
在 中, , ;
故, 8分
即二面角 的大小的余弦值为 9分
解法二:利用向量法
设平面 的法向量为 ,
由(1)得 ,
且
解得: ,即 ;7分
又平面 的法向量为 ,
所以,二面角 的余弦值为 . 9分
(3))解法一: , , ,
10分
又 , , ,
(11分)
设 点到平面 的距离为 ,则 ,
解得 ,即 点到平面 的距离为 . (14分)
解法二:利用向量法
由(1) (2)知 ,平面 的法向量为
故, 点到平面 的距离为
20.解:解:(1).由 的离心率 得 2分
3分
(2). 与 方程联立消 得
由 与 相切知 ,由 知 5分
与 方程联立消 得 ① 6分
设点
交 于 二点, 、 是①的二根
,故 8分
10分
令 ,则
令 ,则 在 上恒成立
故 在 上单减 12分
故 即 , 时 取得最小值,则 取得最小值
此时 14分
21. 解:21解:⑴ 1分,
依题意, 即 3分,
解得 5分。
⑵记 ,
则 6分,
当 时, ;当 时, ;当 时, 8分,所以 ,等号当且仅当 时成立,即 ,等号当且仅当 时成立,曲线 和直线 只有一个公共点9分。
⑶ 时, ,所以 恒成立当且仅当
10分,
记 , , 11分,
由 得 (舍去), 12分
当 时, ;当 时, 13分,
所以 在区间 上的最大值为 ,常数 的取值范围为 14分.
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