培正中学2015届高三数学第二次月考试卷(理科)
培正中学2015届高三数学第二次月考试卷(理科)
一、选择题(每小题5分,满分40分)
1.对于集合A={2,4,6},若a A,则6-a A,那么a的值是
A、2B、4C、6D、2或4
2.设 是虚数单位,则 是复数 为纯虚数的 条件.
A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要
3.若向量 ,则
A、 B、 C、 D、
4. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3:5:7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=
A、45B、54C、90D、126
5.已知a0,x,y满足条件 ,若 的最小值为1,则a=
A、1B、2C、 D、
6. 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是
A、 B、
C、 共面D、
7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是
A、 B、 C、 D、
8.若 ,则 的最小值为( )
A、7B、 C、 D、5
二、填空题:(每小题5分,满分30分)
(一)必做题(9~13题)
9.不等式 的解集为 .
10.从1 ,2 ,3 ,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为
11.已知 是递增等比数列, ,则此数列的公比q= .
12.若命题存在 ,使 是假命题,则实数m的取值范围为 .
13. 已知实数a 0,函数 若 ,则a的值为 .
(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题,如果两题都做了,只批改第14题)
14. 在极坐标系 中,曲线 与 的交点的极坐标为 .
15. 如图1所示,AB是圆O的直径,点C在圆O上,
延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交
AD于E.若AB=6,ED=2,则BC= .
三、解答题:(共6小题,满分80分)
16.(本小题12分)
已知向量 , ,设函数 .
(1) 求 的最小正周期; (2) 求 在 上的最大值和最小值.
17. (本小题13分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图2所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1) 求图中a的值;
(2) 根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应的分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
x:y1:12:13:44:5
18. (本小题14分) 如图3所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中ADAB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.
(1) 求证:DE∥平面PBC;
(2) 求三棱锥A-PBC的体积.
19.(本题13分) 已知a为实常数, 是定义在R上的奇函数,当x0时, ,若 对一切 成立,求实数a的取值范围。
20.(本题14分)数列 的前n项和记为 .
(1) 求 的通项公式;
(2) 等差数列 的各项为正,其前n项和为Tn,且T3 =15,又 , , 成等比数列,求Tn
21.(本题14分) 设 .
(1) 若 在 上是单调减函数,求实数a的取值范围.
(2) 当 时, 在[1,4]上的最小值为 ,求 在该区间的最大值.
参考答案:
一、选择题:1、D;2、B;3、A;4、C;5、D;6、B;7、C;8、A
二、填空题:9、 ; 10、 ; 11、 ; 12、 ;
13、 ; 14、 ; 15、
三、解答题:
16. (2013 陕西,12分)
(1) 函数 的最小正周期 .
.
由正弦函数的性质,知当 时, 取得最大值为1.
而当 时, 取得最小值为 .
17. (2012 广东,13分)
解:(1) 由频率分布直方图可知: ,所以a=0.005
(2) 该100名学生的语文成绩的平均分约为:
(3) 由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比,可得下表:
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
x5403020
x:y1:12:13:44:5
y5204025
于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10
18. (本小题14分)
(1)证明:(方法一):取PB的中点F,连接EF,CF.
∵点E,F分别是PA,PB的中点
EF//AB,且
又CD//AB,且
EF//CD,且EF=CD
四边形CDEF是平行四边形,DE//CF.
又
DE//平面PBC.
(方法二):取AB的中点F,连接DF,EF.
在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,
所以BF∥CD,且BF=CD.
所以四边形BCDF为平行四边形,所以DF∥BC.
在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EF∥PB.
又DFEF=F,PBBC=B,
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE 平面DEF,所以DE∥平面PBC.
(方法三):
(2) 取AD的中点O,连接PO.
在△PAD中,PA=PD=AD=2,所以POAD,PO=
又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,
所以PO平面ABCD,所以PO就是三棱锥P-ABC的高.
在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,AD=2,ABAD,
所以 .
故 .
19. (本题14分)
解: . .
又 是定义在R上的奇函数.
,∵ ,函数 的最小值为
∵ 对一切 成立
即
故所求a的取值范围为
20. (本题14分)
解:(1) 由 ,可得 ,
两式相减得 ,则 .
又 , .
故 是首项为1,公比为3的等比数列, .
(2) 设 的公差为d.
由T3 =15,即 ,可得 ,
故 ,又 ,
由 , , 成等比数列可得
解得d=2或d=-10
∵等差数列的各项为正,d0,
d=2,b1=3,
21.(本题14分)
解:(1) 由 .
当 时, 的最大值为 .
因为 在 上是单调减函数,则 在 上成立,
所以 ,解得 ,故所求实数a的取值范围为 .
(2) 令 .
因为当 时 ,当 时
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
当 时,有 ,所以 在[1,4]上的最大值为 ,
又 .
所以 在[1,4]上的最小值为 .
得 ,从而 在[1,4]上的最大值为 .
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