桂林中学14年秋高三数学10月月考卷(理科)
桂林中学14年秋高三数学10月月考卷(理科)
说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)
第Ⅰ卷选择题
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 等于
A B C D
2.已知复数 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
3.某班有60名学生,一次考试后数学成绩~N(110,102),若
P(100110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ).
A.10 B.9 C.8 D.7
已知双曲线C: ﹣ =1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的
方程为( )A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
5.设有算法如图所示:如果输入A=144,B=39,则输出的结果是( )
A.144 B.3 C.0 D.12
6.设函数 ,且其图像相邻的两条对称轴为 ,则( )
A. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数
B. 的最小正周期为 ,且在 上为减函数
C. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数
D. 的最小正周期为 ,且在 上为减函数
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,
AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()
A. B. C. D.
8. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.
若 则 的值为( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2
10.设 , , 则( )
A. B. C. D.
11.若函数 的图象在 处的切线与圆
相切,则 的最大值是( )
A.4 B. C.2 D.
设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件:存在 ,使 在 上的值域是 则称 为倍缩函数,若函数 为倍缩函数,则t的范围是( )
A. B. D.
第II卷非选择题
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知 满足 ,则 的最大值为.
14.平面向量 , , ( ),且 与 的夹角等于
与 的夹角,则 .
15.函数 的部分图象如右图所示,设 是图象的最高点, 是图象与 轴的交点,则 _________.
16.若集合 且下列四个关系:
① ;② ;③ ;④ 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 的个数是_______.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)在 中,角 所对的边分别为a,b,c,
且
(1)求函数 的最大值;
(2)若 ,求 的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数 ,数列 的前 项和为 ,点 均在函数 的图象上.
(1)求数列 的通项公式 ;
(2)令 ,证明: .
19.(本小题满分12分)
如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AD//CD, ,FC 平面ABCD, AE BD,CB = CD = CF.
(Ⅰ)求证:平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值
20.(本小题满分12分)某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩,整理数据得到茎叶图如图所示,根据茎叶图解决下列问题.
(1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数;
(2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值;
(3)定义成绩在80分以上为优秀,现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次,每次抽取1个成绩,设表示抽出的成绩中优秀的个数,求的分布列及数学期望.
21.(本小题满分12分)椭圆C: (a0)的离心率为 ,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为 的直线l交C于A、B两点.当m=0时,
(1)求C的方程; (2)证明: 为定值.
22.(本小题满分12分)已知函数 .
(1)若函数 在区间 上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)如果当 时,不等式 恒成立,求实数k的取值范围;
2014-2015学年度10月月数学(理)答案
选择题:
题号123456789101112
答案DBBABDCDCCDA
填空题:(13) 3 (14) 2 (15) 8 (16) 6
1.【解析】M= ,N= ,故 = 【答案】D
2.【解析】首先 ,然后由等比数列求和公式得: ,【答案】B
3.【解析】由正态分布的性质,得 ,
;所以 ;
则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 .【答案】B.
4.【解析】双曲线C: ﹣ =1的渐近线方程为y= ,
∵双曲线C: ﹣ =1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上 ,
2c=10,a=2b , ∵c2=a2+b2 , a2=20,b2=5 ,
C的方程为 ﹣ =1. 故选A.【答案】A
5.【解析】第一轮:当输入 时,则 ,此时 ;第二轮: ,此时 ;第三轮: ,此时 ;第四轮: ,此时 ,所以输出3,故正确答案为B. 【答案】B
6.【解析】因为 = ,由其图像相邻的两条对称轴为 知, 且 ,解得 =2, ,所以 ,
其的最小正周期为 ,且在 上为减函数,故选D.【答案】D
7.【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,ABAC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R= =13,即R= 【答案】C
8.【解析】由三视图知该几何体是底面为两直角边分别为 ,1的直角三角形,高为 直三棱柱,其体积为 = ,故选D. 【答案】D
9.【解析】此题为赋值型的题,先令 ,解得 ,结合要求的式子的形式可令 ,就出现了 ,所以 =-1.【答案】C
10.【解析】由 , ,
, ,故 . 【答案】C
11.【解析】 ,因此切线的斜率 ,切点 ,切线方程 ,即 ,由于与圆相切 , ,解得 【答案】D
12.【解析】 函数 为倍缩函数,且满足存在 ,
使 在 上的值域是 , 在 上是增函数;
即 ;
方程 有两个不等的实根,且两根都大于 ;
设 , 有两个不等的实根,且两根都大于 ;
即 解得 ,故选A.【答案】A
13.【解析】画出可行域如图所示,目标函数 过点B处时取得最大值,最大值为3. 【答案】3
14.【解析】由题意得: ,
法二、由于OA,OB关于直线 对称,故点C必在直线 上,由此可得
15.【解析】过 作 的垂线,垂足为 ,∵ , , , , , ,
.
16.【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得 .由 即 .可得 .两种情况.由 .所以有一种情况.由 即 .可得 .共三种情况.综上共6种.
17. 已知函数 ,数列 的前 项和为 ,点 均在函数 的图象上.(1)求数列 的通项公式 ;
(2)令 ,证明: .
【解析】(1) 点 在 的图象上, ,
当 时, ;
当 时, 适合上式, ;
(2)证明:由 ,
,又 ,
, 成立.
18.在 中,角 所对的边分别为a,b,c,且
(1)求函数 的最大值;(2)若 ,求 的值.
【解析】
(1)
当 ,即当 时, 取得最大值,且最大值为
(2)由题意得
又由(1)知 .
由 ,得 所以 的值为 .
19.(本小题满分12分)如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AD//CD, ,FC 平面ABCD, AE BD,CB = CD = CF.
(Ⅰ)求证:平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值
【解析】 (Ⅰ)∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,DAB=60,
ADC=BCD=120,又CB=CD,CDB=30,
ADB=90,ADBD,又AEBD,且AEAD=A,AE,AD平面AED,
BD平面AED,平面ABCD平面AED.
(Ⅱ)连结AC,由(Ⅰ)知ADBD,ACBC,
又FC平面ABCD,CA,CB,CF两两垂直,
以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,设CB=1,
则A( ,0,0),B(0,1,0),D( , ,0),F(0,0,1),
=( , ,0), ==(0,1,1), =(- ,0,1),
设平面BDF的一个法向量为 =(x,y,z),则 ,
取z=1,则 =( ,1,1),所以 = ,
直线AF与面BDF所成角的余弦值为 . (12分)
20.某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩,整理数据得到茎叶图如图所示,根据茎叶图解决下列问题.
(1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数;
(2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值;
(3)定义成绩在80分以上为优秀,现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次,每次抽取1个成绩,设表示抽出的成绩中优秀的个数,求的分布列及数学期望.
【解析】(1)甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是72,70;
(2)
甲乙两班物理样本成绩的平均值分别是71分、70分
(3)的可能取值为0、1、2、3、4,甲、乙两班各有5个优秀成绩,故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为 ,从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为
,
,
的分布列为
01234
P
21.椭圆C: (a0)的离心率为 ,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为 的直线l交C于A、B两点.当m=0时,
(1)求C的方程; (2)证明: 为定值.
【解析】(Ⅰ)因为离心率为 ,所以 = .
当m=0时,l的方程为y= x,代入 并整理得x2= .
设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),
=- - =- =- .
又因为 =- ,所以a2=25,b2=16,椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)l的方程为x= y+m,代入 并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|PA|2=(x1-m)2+ = ,同理|PB|2= . 8分
则|PA|2+|PB|2= ( + )= [(y1+y2)2-2y1y2]
= [(- )2- ]=41.
所以,|PA|2+|PB|2是定值. 12分
22.已知函数 .
(1)若函数 在区间 上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)如果当 时,不等式 恒成立,求实数k的取值范围;
【解析】(1)当x0时, ,有
;
所以 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,函数 在 处取得唯一的极值.由题意 ,且 ,解得所求实数 的取值范围为 .
(2)当 时,
令 ,由题意, 在 上恒成立
令 ,则 ,当且仅当 时取等号.
所以 在 上单调递增, .
因此, 在 上单调递增, .所以 .
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