历年中考圆基础题精选
一、选择题
1. (天津3分)已知⊙ 与⊙ 的半径分别为3 cm和4 cm,若 =7 cm,则⊙ 与⊙ 的位置关系是
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距 =7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米,两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米,这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,APC的平分线交AC于点D,则CDP等于
A、30 B、60 C、45 D、50
【答案】
【考点】角平分线的定义,切线的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形外角定理。
【分析】连接OC,
∵OC=OA,,PD平分APC,
CPD=DPA,CAP=ACO。
∵PC为⊙O的切线,OCPC。
∵CPD+DPA+CAP +ACO=90,DPA+CAP =45,即CDP=45。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理,圆的轴对称性,等腰梯形的判定和性质,勾股定理。
【分析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质,得FDB=90
根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形。
DF=CB=1,BF=2+2=4。BD= 。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是 ,⊙2的半径是 ,圆心距是 ,则两圆的位置关系为
A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-25+2,所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为.
A. 5 B. 4 C. .3 D. 2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质,弦径定理,勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图,过点O作OMAB于M,连接OA。
根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM中,由AM=4, OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上 ,BOD=110,AC∥OD,则AOC的度数
A. 70 B. 60 C. 50 D. 40
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平角定义,平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,知OA=OC,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理,得AOC=1800-2OAC。
由AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等的性质,得OAC=AOD。
由AB是⊙O的直径,BOD=110,根据平角的定义,得AOD=1800-BOD=70。
AOC=1800-270=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB CD ,如果BOC = 70 ,那么A的度数为
A 70 B. 35 C. 30 D . 20
【答案】B。
【考点】弦径定理,圆周角定理。
【分析】如图,连接OD,AC。由BOC = 70 ,
根据弦径定理,得DOC = 140 ;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得DAC = 70 。
从而再根据弦径定理,得A的度数为35 。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且CAD=30.OBAD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于 ▲ 。
【答案】5。
【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中, ,
AD=2AO= 。
连接CD,则ACD=90。
∵在Rt△ADC中, ,
BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图,点0为优弧 所在圆的圆心,AOC=108,点D在AB延长线上,BD=BC,则D= ▲ .
【答案】27。
【考点】圆周角定理,三角形的外角定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵AOC=108,ABC=54。∵BD=BC,BCD= ABC=27。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 ▲ .
【答案】4。
【考点】切线的性质,勾股定理。
【分析】连接OC,则由直线PC是圆的切线,得OCPC。设圆的半径为x,则在Rt△OPC中,PC=3,OC= x,OP=1+x,根据地勾股定理,得OP2=OC2+PC2,即(1+x)2= x 2+32,解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PAPB求得PA=9,再由AB=PA-PB求出直径,从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12 ,半径是6,则它的圆心角是 ▲ 。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n,根据扇形面积公式,得 ,解得n=1200。
18.解答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I) 如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求 的值.
【答案】解:(I) 如图①,连接OC,则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C,OCAB。
在△OAB中,由OA=OB,AB=10得 。
在△RtOAB中, 。
(Ⅱ)如图②,连接OC,则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形,OD=DC。
△ODC为等边三角形。AOC=600。
A=300。 。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,300角直角三角形的性质。
【分析】(I) 要求OA的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC,由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设MOP=.
当= ▲ 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 ▲ .
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角BMO= ▲ 度,此时点N到CD的距离是 ▲ .
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当=60时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定的取值范围.
(参考数椐:sin49= ,cos41= ,tan37= .)
【答案】解:思考:90,2。
探究一:30,2。
探究二(1)当PMAB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,
此时旋转角最大,BMO的最大值为90。
(2)如图4,由探究一可知,
点P是弧MP与CD的切线时,大到最大,即OPCD,
此时延长PO交AB于点H,
最大值为OMH+OHM=30+90=120,
如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MPCD,达到最小,
连接MP,作HOMP于点H,由垂径定理,得出MH=3。
在Rt△MOH中,MO=4,sinMOH= 。MOH=49。
∵=2MOH,最小为98。
的取值范围为:98120。
【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。
【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当=90度时,点P到CD的距离最小,
∵MN=8,OP=4,点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。
探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,
∵MN=8,MO=4,NQ=4,最大旋转角BMO=30度,点N到CD的距离是 2。
探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PMAB时,点MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出BMO的最大值。
(2)分别求出最大值为OMH+OHM=30+90以及最小值=2MOH,即可得出的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PAAC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D, .
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cosBCA的值.
【答案】(1)证明:连接OB、OP
∵ 且D, △BDC∽△PDO。
DBC=DPO。BC∥ OP。
BCO=POA ,CBO=BOP。
∵OB=OC,O CB=CBO。BOP=POA。
又∵OB=OA, OP=OP, △BOP≌△AOP(SAS)。
PBO=PAO。又∵PAAC, PBO=90。
直线PB是⊙O的切线 。
(2)由(1)知BCO =P OA。
设PB ,则BD= ,
又∵PA=PB ,AD= 。
又∵ BC∥OP , 。 。 。 cosBCA=co sPOA= 。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP,由 ,且D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则PBO=PAO=90。
(2)设PB ,则BD= ,根据切线长定理得到PA=PB ,根据勾股定理得到AD= ,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到 ,则 ,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCA=cosPOA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点,⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2。
(1) 求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求 的长。 【答案】解(1)证明:连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,MBO2=90。
BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2,O1O2B=60。
∵AB=2,BN=,O2B =2。
===。
【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出MBO2=90从而得出结论:BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2,则O1O2B=60,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图,已知ABC=90,AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与l相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;
(2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC= CD,请说明你的理由.
【答案】解:(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,
BCE=90,
又∵BC为直径,BFC=CFE=90。CFE=BCE。
∵FEC=CEB,△CEF∽△BEC。 。
∵BE=15,CE=9,即: ,解得:EF= 。
(2)证明:①∵FCD+FBC=90,ABF+FBC=90,ABF=FCD。
同理:AFB=CFD。△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF, 。
又∵△CEF∽△BCF, 。 。
又∵AB=BC,CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上,且 时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC= CD。理由如下:
∵CE=CD,BC= CD= CE。
在Rt△BCE中,tanCBE= ,
CBE=30, 所对圆心角为60。
F在⊙O的下半圆上,且 。
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得BCE=90,BFC=CFE=90,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长。
(2)①由FCD+FBC=90,ABF+FBC=90,根据同角的余角相等,即可得ABF=FCD,同理可得AFB=CFD,则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,易证得 ,又由AB=BC,即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD,可得BC= CD= CE,然后在Rt△BCE中,求得tanCBE的值,即可求得CBE的度数,则可得F在⊙O的下半圆上,且 。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图,在 Rt△ABC中,ACB=90 D是AB 边上的一点,以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点 F .
( 1 )求证: BD = BF ;
( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ,求 BF 的长.
【答案】解:(1)证明:连结OE,
∵OD=OE,ODE=OED。
∵⊙O与边 AC 相切于点E,
OEAE。OEA=90。
∵ACB=90,OEA=ACB。OE∥BC。OED。
ODE=F。BD=BF。
(2)过D作DGAC于G,连结BE,
DGC=ECF,DG∥BC。
∵BD为直径,BED=90。
∵BD=BF,DE=EF。
在△DEG和△FEC中,
∵DGC=ECF,DEG=FEC,DE=EF,△DEG≌△FEC(AAS)。DG=CF。
∵DG∥BC,△ADG∽△ABC。 。
, , 或 (舍去)。
BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质,圆切线的性质,平行的判定和性质,圆周角定理,对顶角的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE,易证OE∥BC,根据等边对等角即可证得ODE=F,则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径,即可求解。
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