历年中考压轴题精选
一、解答题
1.(北京8分)如图,在平面直角坐标系 O 中,我把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注:不含AB线段).已知A(﹣1,0),B(1,0),AE∥BF,且半圆与 轴的交点D在射线AE的反向延长线上.
(1)求两条射线AE,BF所在直线的距离;
(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围;
(3)已知 AMPQ(四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标 的取值范围.
【答案】解:(1)连接AD、DB,则点D在直线AE上,如图1。
∵点D在以AB为直径的半圆上,
ADB=90。BDAD。
在Rt△DOB中,由勾股定理得,BD= 。∵AE∥BF,
两条射线AE、BF所在直线的距离为 。
(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,
b的取值范围是b= 或﹣1
当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,b的取值范围是1
①当点M在射线AE上时,如图2.
∵AMPQ四点按顺时针方向排列,直线PQ必在直线AM的上方。
PQ两点都在弧AD上,且不与点A、D重合。 0
∵AM∥PQ且AM=PQ,0
②当点M不在弧AD上时,如图3,
∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,
直线PQ必在直线AM的下方,此时,不存在满足题意的平行四边形。
③当点M在弧BD上时,设弧DB的中点为R,则OR∥BF,
当点M在弧DR上时,如图4,
过点M作OR的垂线交弧DB于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.
四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。0 。
当点M在弧RB上时,如图5,
直线PQ必在直线AM的下方,此时不存在满足题意的平行四边形。
④当点M在射线BF上时,如图6,
直线PQ必在直线AM的下方,此时,不存在满足题意的平行四边形。
综上,点M的横坐标x的取值范围是﹣2﹣1或0 。
【考点】一次函数综合题,勾股定理,平行四边形的性质,圆周角定理。
【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,从而判定三角形ADB为等腰直角三角形,其直角边的长等于两直线间的距离。
(2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量 的取值范围即可。
(3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上,可能会出现四种情况,分类讨论即可。
2.(天津10分)已知抛物线 : .点F(1,1).
(Ⅰ) 求抛物线 的顶点坐标;
(Ⅱ) ①若抛物线 与 轴的交点为A.连接AF,并延长交抛物线 于点B,求证: ②抛物线 上任意一点P( ))( ).连接PF.并延长交抛物线 于点Q( ),试判断 是否成立?请说明理由;
(Ⅲ) 将抛物线 作适当的平移.得抛物线 : ,若 时. 恒成立,求m的最大值.
【答案】解: (I)∵ ,抛物线 的顶点坐标为( ).
(II)①根据题意,可得点A(0,1),
∵F(1,1).AB∥ 轴.得
AF=BF=1, ② 成立.理由如下:
如图,过点P作PMAB于点M,则
FM= ,PM= ( )。
Rt△PMF中,有勾股定理,得 又点P( )在抛物线 上,得 ,即 ,即 。
过点Q( )作QNAB,与AB的延长线交于点N,
同理可得 ∵PMF=QNF=90,MFP=NFQ,△PMF∽△QNF。
,这里 , 。
,即 。
(Ⅲ) 令 ,设其图象与抛物线 交点的横坐标为 , ,且 ,
∵抛物线 可以看作是抛物线 左右平移得到的,
观察图象.随着抛物线 向右不断平移, , 的值不断增大,
当满足 ,. 恒成立时,m的最大值在 处取得。
当 时.所对应的 即为m的最大值。
将 带入 ,得 。
解得 或 (舍去)。
。此时, ,得
。
解得 , 。
m的最大值为8。
【考点】二次函数综合题,抛物线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,图象平移,解一元二次方程。
【分析】(I) 只要把二次函数变形为 的形式即可。
(II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。
3.(河北省12分)如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t0),抛物线 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为 A (1,0),B (1,﹣5),D (4,0).
(1)求 , (用含t的代数式表示):
(2)当4
①在点P的运动过程中,你认为AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出AMP的值;
②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时, ;
(3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为好点.若抛物线将这些好点分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.
【答案】解:(1)把 =0, =0代入 ,得 =0。
把 =t, =0代入 ,得t2+ t=0,
∵t0, =﹣t。
(2)①不变.
如图,当 =1时, =1﹣t,故M(1,1﹣t),
∵tanAMP=1,AMP=45。
②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM
= (t﹣4)(4t﹣16)+ [(4t﹣16)+(t﹣1)]3﹣ (t﹣1)(t﹣1)= t2﹣ t+6。
解 t2﹣ t+6= ,得:t1= ,t2= 。
∵4
t= 。
(3)
【考点】二次函数综合题。
【分析】(1)由抛物线 经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得 , 。
(2)①当 =1时, =1﹣t,求得M的坐标,则可求得AMP的度数。
②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM,即可求得关于t的二次函数,列方程即可求得t的值。
(3)当 ,经过(2,-3)时,好点(2,-2)和(2,-1)在抛物线上方,
此时, , 。
当 =3时, ,在-1和-2之间,说明(3,-1)也在抛物线上方。
因此,抛物线要将这些好点分成数量相等的两部分时,必须 。
当 ,经过(3,-2)时,好点(3,-1)在抛物线上方,
此时, , 。
当 =3时, ,在-3和-4之间,说明好点(2,-3),(2,-2)和(2,-1)也在抛物线上方。
因此,抛物线要将这些好点分成数量相等的两部分时,必须 。
综上所述,t的取值范围是
4.(山西省14分)如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t0).△MPQ的面积为S.
(1)点C的坐标为 ,直线l的解析式为 .
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.
【答案】解:(1)(3,4); 。
(2)根据题意,得OP=t,AQ=2t.分三种情况讨论:
①当 时,如图l,M点的坐标是( )。
过点C作CDx轴于D,过点Q作QE x轴于E,
可得△AEO∽△ODC。
,即 。
, 。
Q点的坐标是( )。PE= 。
S= 。
②当 时,如图2,过点Q作QFx轴于F,
∵ ,OF= 。
Q点的坐标是( ),
PF= 。
S= 。
③当点Q与点M相遇时, ,解得 。
当 时,如图3,MQ= ,MP=4。
S= 。
综上所述,S= 。
(3)① 当 时, ,
∵ ,抛物线开口向上,对称轴为直线 ,
当 时,S随t的增大而增大。 当 时,S有最大值,最大值为 。
②当 时, 。
∵ ,抛物线开口向下,当 时,S有最大值,最大值为 。
③当 时, ,∵ .S随t的增大而减小。
又∵当 时,S=14.当 时,S=0. 。
综上所述,当 时,S有最大值,最大值为 。
(4)当 时,△QMN为等腰三角形。
【考点】动点问题,平行四边形的性质, 待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,一、二次函数的增减性和最值,等腰三角形的判定。
【分析】(1)由点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),根据平行四边形对边平行且相等的性质,可得点C的坐标为(11-8,4),即(3,4)。
由点C在直线l,根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法可求直线l的解析式。
(2)分①点Q在AB上,点M在OC上,②点Q在BC上,点M在OC上,③点Q在BC上,点M在BC上三种情况讨论即可。
(3)按(2)的分段情况,根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。
(4)易知,NMQ为直角,故要△QMN为等腰三角形只有MQ=MN。
∵M( ),N( ),Q( ),
。
当点M在点Q的左边, ,解得, 。
当点M在点Q的右边, ,解得, 。超过 ,舍去。
当 时,△QMN为等腰三角形。
5.(内蒙古呼和浩特12分)已知抛物线 的图象向上平移 个单位( )得到的新抛物线过点(1,8).
(1)求 的值,并将平移后的抛物线解析式写成 的形式;
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻
折到x轴 上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数 的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在 时对应的函数值 的取值范围;
(3)设一次函数 ,问是否存在正
整数 使得(2)中函数的函数值 时,对应的 的值为 ,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由题意可得 又点(1,8)在图象上, 。 。
。
(2) 。
画图如下:
当 时, 。
(3)不存在。理由如下:
当 且对应的 时, ,解得 , ,
且 得 。
不存在正整数 满足条件。
【考点】二次函数综合题,平移的性质,二次函数的顶点式,函数的图象特征,解一元二次方程和一元一次不等式组。
【分析】(1)根据抛物线 的图象向上平移 个单位,可得 ,再利用又点(1,8)在图象上,求出 即可。
(2)根据函数解析式画出图象,即可得出函数大小分界点。
(3)根据当 且对应的 时, ,得出 取值范围即可得出答案。
6.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分)如图(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N,FNBC.
(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?
(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.
图1 图2
【答案】解:(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE.
AB﹣AG=BC﹣EC,即BG=BE。BGE=45。
AGE=135。
∵CP是外角平分线,
DCF=45。ECF=135
AGE=ECF。
∵AEB+BAE=90,AEB+CEF=90,
BAE=CEF。
在△AGE和△ECF中, ,△AGE≌△ECF(ASA),AE=EF。
(2)①与(1)同理可证,当E不是中点时,AE=EF,
在△ABE和△ENF中, ,△ABE≌△ENF(AAS)。FN=BE=x。
又∵BE=x,BC=4,EC=4﹣x,y= (4﹣x)x,
y与x的函数关系式为y=﹣ x2+2x (0
②∵y=﹣ x2+2x=﹣ (x2﹣4x)=﹣ (x﹣2)2+2,
当x=2,y最大值=2。
【考点】正方形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE,利用ASA,易证得:△AGE≌△ECF,则可证得AE=EF。
(2)同(1)可证明AE=EF,利用AAS证明△ABE≌△ENF,根据全等三角形对应边相等可得FN=BE,再表示出EC,然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y,然后整理再根据二次函数求解最值问题。
7.(内蒙古包头12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2).
(1)求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式;
(2)点P是抛物线对称轴上的动点,当APCP时,求点P的坐标;
(3)设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E(t,n)是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S.当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?
【答案】解:(1)将A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,得
,解得 。y=- x2+ x-2=- (x- )2+ 。
(2)设点P( ,m),分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A,C 。
∵APCP,△AAP∽△PCC。
,即 ,
解得m1= ,m2= 。
P( , )或( , )。
(3)由B(6,1),C(0,-2),得直线BC的解析式为y= x-2,D(4,0)。
∵四边形OEDC只能在x上方,n0。
又S=S△CDO+S△EDO= , 。
∵点E(t,n)在抛物线上,n =- t 2+ t-2,代入 ,得
关于t的方程t 2-7 t+S=0,方程根的判别式△=49-4S。
当△=0时,S= , ,此时方程只有一解,满足条件的点E只有一个,位于抛物线顶点处(图1)。
当△0时,S ,由S4,所以4
设B是抛物线上点B关于对称轴的对称点,即n =1,S=6。由t 2-7 t+6=0得
t=1或t=6。此时点E的坐标为(1,1)或(6,1),即满足条件的点E与点B或B重合(图2)。
①当6
条件的点E位于直线BB上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个(图3)。
②当4
点H与点B之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个(图4)。
综上所述,当4
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的对称性,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式。
【分析】(1)将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列方程组求抛物线解析式,再用配方法求顶点式。
(2)当APCP时,分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A,C,利用互余关系得角相等,证明△AAP∽△PCC,利用相似比求P点坐标。
(3)分别求出点E为抛物线顶点,E,B重合时,图形的面积,当E点为抛物线顶点时,即S= 满足条件的点E只有一个;当6
8.(内蒙古乌兰察布16分)如图 ,正 比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ,把直线 OA 向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交于C、D两点。
(1)求 m的值;
( 2 )求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式;
( 3 )若点E是抛物线上的一个动点,是否存在点 E ,使四边形 OECD 的面积S1 ,是四边形OACD 面积S的 ?若存在,求点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)设反比例函数为 ,
把A(3,3)代入 ,得 , 。
反比例函数为 。
∵B(6,m)在反比例函数上, 。
(2)设正比例函数为 ,
把A(3,3)代入 ,得 , 。
正比例函数为 。
设直线BD的解析式为 ,
∵直线BD过 , , 。
直线BD的解析式为 。
在 中,令 ,得 ,D( )。
在 中,令 ,得 ,C( )。
设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为 ,得
,解得: 。
抛物线的解析式为 。
(3)假设存在E( )满足条件,
, [来源:Zk.Com]
在 中,令 ,解得 ,
E的坐标应满足 , 。
∵ ,
,即 ,
解得: 。
,即 。 。
∵ , 。
。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,解一次方程组和一元一次方程。
【分析】(1)由于反比例函数的图象都经过点A(3,3),由此可以确定函数的解析式,又把直线OA向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。
(2)由于直线OA向下平移后,与反比例函数的图象交于点B(6,m),与 轴、 轴分别交于C、D两点,由此首先确定直线BD的解析式,接着可以确定C,D的坐标,最后利用
待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。
(3)如图,利用(1)(2)知道四边形OACD是梯形,利用已知条件可以求出其面积,设E的横坐标为 ,那么利用 可以表示其纵坐标,也可以表示△OEC的面积,而△OCD的面积可以求出,所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的 即可列出关于 的方
程,利用方程即可解决问题。
9.(内蒙古呼伦贝尔13分)如图,已知二次函数 的图象与 轴相交于点A、
C, 与 轴相交于点B,A ,△AOB∽△BOC.
⑴求C点的坐标、ABC的度数;
⑵求二次函数 的解析式;
⑶在线段AC上是否存在点M ,使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)由 ,令 =0,得B(0,3)。
又 A ,OA= ,OB=3。
∵△AOB∽△BOC, ,即 ,OC=4。C(4,0)。
∵△AOB∽△BOC,OAB=OBC。
又∵OAB+OBA=900,OBC+OBA=900,即ABC=900。
(2)∵ 的图象经过A ,C(4,0),
,解得 。
二次函数的解析式为 。
(3) 过点P作PMBC交AC于点M,
则根据直径所对圆周角是直角的性质,知点P在以BM为直径的圆上
又∵ABC=900,PM∥BA。△CPM∽△CBA。
。
由A ,B(0,3),C(4,0),可得OA= ,OB=3,OC=4。
则CA= +4= ,CB= 。
由M ,得CM=4- 。
分三种情况:
①当PC=PO时,点P为BC的中点,得CP=2.5。
,解得 。
②当CP=CO时,CP=4。
,解得 。
③当OC=OP时,由于OP(=4)OB(=3),从而点P在CB的延长线上,这样点M点不在线段AC上。
综上所述, 的值为 。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,解二元一次方程组,圆周角定理。勾股定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质。
【分析】(1)由△AOB∽△BOC,得对应边成比例,对应角相等,可得C(4,0)和ABC=900。
(2)由点A,C在二次函数的图象上,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系可求解析式。
(3)根据圆周角定理和相似三角形的性质可得 。分PC=PO,CP=CO,OC=OP三种情况讨论即可。
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