百钱买百鸡
(依据:《张丘建算经》;编诗:陈钢) 百钱买来百只鸡,公母小鸡数不齐;
母一钱三公钱五,三雏钱一价格低。
公鸡母鸡各多少?还有几只是小鸡?
【解说】这是依据我国古代《张丘建算经》上的“百鸡问题”编写而成的。
“百鸡问题”是一道闻名于世界的题目,很有价值,也很有趣味。题目的原文是:
“今鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只,问:鸡翁、母、雏各几何?”
题目中的“鸡翁”、“鸡母”、“鸡雏”分别指“公鸡”、“母鸡”和“小鸡”。“雏”的读音与“除”音相同,“雏”即幼禽,这里指小鸡。若用通俗的话来说,题目的意思可以是:
用100文钱买来100只鸡,公鸡5文钱一只,母鸡3文钱一只,小鸡1文钱3只。问:在这100只鸡中,公鸡、母鸡、小鸡各是多少只?
对于这道题目的解答,《算经》上给出了如下的解法“术文”与答案:
“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”“答曰:鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡雏七十八,值钱二十六。又答:鸡翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三;鸡雏八十一,值钱二十七。又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四,值钱十二;鸡雏八十四,值钱二十八。”
这一简要术文,意思可作如下表示:
公鸡每增加4只:4→8→12→……
则 母鸡应每减7只:18→11→4→……
小鸡应每增3只:78→81→84→……
看得出来,《算经》的解法是先求得第一组(竖的第一列)答案:
公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只。
然后采用“四、七、三增减法”,去求其他两组答案。但是,第一组答案是怎样求得的呢?这种“增减方法”又是怎样找到的呢?书上没作任何交代。据后人推测,这可能都是由实验得到的。因为
(增加数) (减少数)
4+3 =7(只)——增减后,鸡的数目相等;
所以,只有这样,得数才比较容易搭配出来。
在《张丘建算经》以前的古算书上,从来没有出现过这种“一题三答”的题目。这一点,是张丘建在数学上的伟大贡献。
现在解这种题目,一般都是运用“不定方程”的知识来解答的。那么没有学过代数知识的读者,能否将它解答出来呢?
回答是肯定的。我们完全可以用一种比较简单的方法,来推算出题目的答案。
首先,我们可假定公鸡的只数为0。这样,题目就变成了:
用100文钱买100只鸡。母鸡3文钱一只,小鸡1文钱买3只。问:买来的100只鸡中,母鸡和小鸡各是多少只?
实际上这就是个“鸡兔问题”了,我们可以用“假定、置换”办法将它解答出来:
假定100只全部是小鸡,则用去的钱数是
再用“置换”方法,即可求得母鸡的只数为
小鸡的只数便是100-25=75(只)
这样一来,我们就得到了一组与原来题意不相符合的答案:
为使答案符合题意,应使公鸡数增加,不使其为0。办法是:在这一组答案的基础上,找出一种推算办法——“每次当公鸡增加4只,母鸡减少7只,小鸡增加3只”的时候,三种鸡的总数100只和它们需要的总钱数100文,都不会发生变化。
依据这一办法(或规律),我们便可推出本题的答案如下表所示:
显然,符合题意的答案,只有表中标明了的那三组。
(答略)
【思考、练习】
公元15世纪,亚细亚的数学家阿尔·喀西所著《算术之钥》中,有一个“百钱买百鸟”的题目:
“今有鸭一值四钱,雀五值一钱,鸡一值一钱。凡百钱买百鸟,问鸭、雀、鸡各几何?”
(注:题中的“鸭”和“鸡”是家禽,还是指野鸭、野鸡,它们是否属于鸟类,我们可以不去理会。鸭、雀、鸡的数目符合题意的答案有如下几组:①20,75,5;②16,60,24;③12,45,43;④8,30,62;⑤4,15,81。)
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