一对大兔子
(依据:意大利名题;编诗:陈钢) 一对大兔子,每月产两仔;
两仔满两月,每月也两仔。
年终计总数,多少只兔子?
【解说】这是依据意大利著名数学家斐波那契(F.I-bonacci,也译作“菲波纳奇”。他还有个名字,叫做“梁拿度”——Leonardo of pisa)的名题“兔子问题”编写而成的。原题记载在他编著的《算盘之书》(《Liberabacci》)上,翻译过来可以是:
兔子在出生两个月后,就有繁殖后代的能力。假设有一对兔子,每月都生一对兔子,生出来的每一对兔子在出生两个月以后,也每月都生一对兔子。那么由一对兔子开始,满一年的时候,可以繁殖成多少对兔子?
斐波那契是个商人的儿子,出生在意大利的比萨市。幼年时,曾随父亲到过阿尔及利亚,在那里学习了不少阿拉伯人民的算术和代数知识。成年以后,他也经商,走遍了埃及、叙利亚、希腊、西西里和法兰西。后来他回到国内,将他边经商边收集到的算术和代数材料,认真地作了研究,于1202年写成了这本《算盘之书》。
下面,我们来寻找一下题目中兔子的繁殖规律。为了能从下面的图形中反映这一规律,我们将已经成熟的兔子,用记号“▲”表示,未成熟的用“△”表示。每一对成熟的兔子“▲”,经过一个月就会变成本身一对“▲”及新生的未成熟的一对“△”。未成熟的一对“△”,经过一个月,就变成了成熟的但本月还不能生小兔的一对“▲”,……这一规律,可用下面的示意图来表示:
容易看出,这对兔子在第一个月生了一对小兔子,于是这一个月便有两对兔子了。
第二个月:第一对兔子又生了一对小兔子,而前月生下的那一对还不能生小兔子,因此,第二个月的兔子总数为3对。
第三个月:第一月出生的兔子经过两个月,已经能生小兔子了,故这一个月有两对兔子各生一对小兔子,本月就总共有5对兔子了。
第四个月:第二月出生的兔子也能生小兔子了,故此月共有3对兔子各生一对小兔子,连同原有的5对,总共就有8对兔子了。
不难看出,对于任何一个月来说,往已经过去了的前面隔开一个月,则所有的兔子都能生小兔子了。根据题目的条件,每一对兔子每月总是生一对小兔子,因此,这个月出生的小兔子对数,就等于往前隔开一个月所有兔子的对数。那么,当月所有兔子的对数,就等于往前隔开一个月的兔子对数,加上上个月兔子的对数。
用这一规律推算,这一年的12个月里每一个月所有兔子的对数,我们可以列表表示如下。(表中单位为“只”)
显然,这第十二个月所有的377对兔子,便是满一年的时候可以繁殖的兔子对数。
答:满一年有兔子377对,即有754只兔子。
其实,只要我们仔细观察,就容易发现上面表中有下面的规律(设开始为“0月”):
第二个月对数=第一个月对数+开始的对数
=2+1
=3(对)
第三个月对数=第二个月对数+第一个月对数
=3+2
=5(对)
第四个月对数=第三个月对数+第二个月对数
=5+3
=8(对)
若用F(n)来表示第n个月的兔子对数,则有
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n=2,3,4,…)
这便是这一问题的计算公式。
值得指出的是,把原有兔子的对数“ 1”重复地写一次,再将第一、二、三、四、五……个月的2、3、5、8、13……对兔子数,依次排列起来,就会得到这样的一串数:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
这是一串很有规律的数,人们将它称为“斐波那契数列”。斐波那契数列具有很多重要的性质,并具有广泛的应用价值。
【思考、练习】
有一个著名的“树木分枝问题”,实际上也是一个“斐波那契数列问题”。题目如下:
“如果一棵树每年都在生长,第二年有2个分枝,第三年有3个分枝,第四年有5个分枝,第五年有8个分枝,……,照此下去,第十年有多少个分枝?第十五年有多少个分枝?”
请你将这道题目解答出来。
(提示:题目中的这些分枝数目,都是些斐波那契数。利用斐波那契数列的规律,可很快求出其中的未知数。答案:第十年89个分枝,第十五年987个分枝。)
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