趣题巧解 拿破仑的四等分圆
“给出一个圆,只准用圆规,把圆周四等分”。
大家知道,几何作图题是规定只准使用圆规与无刻度的直尺来完成的,这两种工具的功能规定为:
(1)已知圆心及半径,用圆规作圆。
(2)已知两点,用直尺作过这两点的直线。
(3)已知两圆,或已知两直线,或已知一圆及一直线,找出它们的交点。
另外还限制只准有限次地使用这两种工具,逐步作出所需图形,如果不准使用直尺,只准使用圆规来完成作图,就是“圆规几何学”的内容,或称为“单用圆规的作图问题”。
如果补充规定用圆规“画直线”可以理解为:“若已知直线上两点,则可画出直线上任意多个点。”那么,可以证明:能用圆规与直尺完成的图,都可用圆规单独完成。
例1,作一线段等于已知线段的任意整数倍。
由于圆规很容易把一个(圆心已知的)已知圆6等分,利用这一点即可完成本作图。
如图,已知线段为AB,以B为圆心,BA=a为半径作圆,以A为一个分点,把圆B六等分,与A相对的分点为C,则AC=2AB。
如此下去,就可以把已知线段延长任意整数值。
例2,把已知线段AB分成n等分(n≥2为整数)。
以n=3为例,由上题可知,可以作出点C,使点C在AB延长线上且使AC=3AB。以C为圆心CA为半径画圆,再以A为圆心,AB为半径画圆,两圆交点之一为D,以D为圆心,AB为半径画圆,交AB于M,
证明:△ACD、△ADM均为等腰三角形,且有一个底角公用,于是△ACD∽△ADM,于是AC∶AD=AD∶AM但AC=3AD,于是可得AD=3AM即AM=
下面来看看拿破仑的“单用圆规四等分圆”的问题如何解决?
作法:取已知圆O上任一点A,以A为一个分点把⊙O六等分,分点依次为A、B、C、D、E、F(如图)。分别以A、D为圆心,AC、BD为半径作圆交于G,以A为圆心,OG为半径作圆,交⊙O于M、N,则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。
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